Åk 9

Kapitel 1.6

Samband och förändring

Ekvationssystem med algebraisk lösning

Ekvationssystem hjälper oss att hitta två okända värden samtidigt. Här lär du dig substitutionsmetoden och additionsmetoden steg för steg.

På den här sidan

Bakgrund

Ekvationssystem är en viktig del av algebran som hjälper oss att lösa problem med flera okända variabler. I årskurs 9 fokuserar vi på linjära ekvationssystem med två variabler och hur vi kan lösa dem algebraiskt.

Teori

Ett linjärt ekvationssystem med två variabler består av två linjära ekvationer som innehåller två okända variabler, vanligtvis $\displaystyle x$ och $\displaystyle y$ . Målet är att hitta värden för $\displaystyle x$ och $\displaystyle y$ som uppfyller båda ekvationerna samtidigt.

Ett exempel på ett linjärt ekvationssystem med två variabler är:

\begin{cases} 2x +\nobreak y =\nobreak 7 \\ x -\nobreak y =\nobreak 1 \end{cases}

Det finns flera metoder för att lösa ekvationssystem algebraiskt. I årskurs 9 fokuserar vi främst på två metoder:

Substitutionsmetoden
Additionsmetoden (även kallad eliminationsmetoden)

Substitutionsmetoden

Steg för substitutionsmetoden:

Lös en av ekvationerna för en av variablerna.
Substituera (ersätt) uttrycket i den andra ekvationen.
Lös den resulterande ekvationen för den kvarvarande variabeln.
Sätt in det funna värdet i en av de ursprungliga ekvationerna för att hitta den andra variabeln.

Additionsmetoden

Steg för additionsmetoden:

Multiplicera en eller båda ekvationerna med lämpliga tal så att koefficienterna för en av variablerna blir lika stora men med motsatt tecken.
Addera ekvationerna för att eliminera en av variablerna.
Lös den resulterande ekvationen för den kvarvarande variabeln.
Sätt in det funna värdet i en av de ursprungliga ekvationerna för att hitta den andra variabeln.

Viktigt

Kontrollera dina svar genom att sätta in dem i båda de ursprungliga ekvationerna.
Presentera din lösning som ett ordnat par $\displaystyle (x, y)$ .
Tänk på att vissa ekvationssystem kan ha oändligt många lösningar eller ingen lösning alls.

Interaktivt: välj metod

Jämför de två metoderna

Prova att välja metod och läs korta tips om när varje metod är smidigast.

Tips

Substitutionsmetoden är ofta enklast när en ekvation redan är löst för en variabel.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Substitutionsmetoden

Uppgift: Lös följande ekvationssystem med substitutionsmetoden.

\begin{cases} x +\nobreak y =\nobreak 5 \\ 2x -\nobreak y =\nobreak 4 \end{cases}

Exempel 2: Additionsmetoden

Uppgift: Lös följande ekvationssystem med additionsmetoden.

\begin{cases} 2x +\nobreak 3y =\nobreak 12 \\ x -\nobreak y =\nobreak 2 \end{cases}

Vanliga misstag

Undvik detta

Glömma att kontrollera lösningen i båda ursprungliga ekvationerna.
Räknefel vid algebraiska operationer.
Missförstå tecken när du adderar eller subtraherar ekvationer.
Glömma att presentera svaret som ett ordnat par $\displaystyle (x, y)$ .

Testa dig själv

Testa dig själv1/3

Vad innebär substitutionsmetoden?

Vanliga frågor

Tips för att bemästra ekvationssystem

Studietips

Visualisera problemet: Rita upp ekvationerna i ett koordinatsystem för att få en bättre förståelse.
Öva på algebraiska manipulationer: Bli bekväm med att isolera variabler och kombinera liknande termer.
Kontrollera alltid dina svar: Sätt in dina lösningar i båda ursprungliga ekvationerna.
Var uppmärksam på tecken: Var extra noggrann med negativa tal och när du adderar eller subtraherar.
Öva på problemlösning: Arbeta med verkliga problem som kan modelleras med ekvationssystem.

Kom ihåg

Ekvationssystem är ett kraftfullt verktyg för att lösa problem med flera okända variabler. Genom att behärska olika lösningsmetoder och förstå vad lösningarna representerar, kan du tackla mer komplexa problem inom matematik och andra ämnen.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i samband för Åk 9. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här