Linjära funktioner och dess grafer (Åk 9) | Kapitel 1.3

Bakgrund

Linjära funktioner är en av de enklaste och viktigaste typerna av funktioner i matematiken. De beskriver raka linjer och används ofta för att modellera enkla samband mellan två variabler. Att förstå linjära funktioner och kunna tolka deras grafer är en viktig färdighet som du kommer att ha nytta av i många situationer, både i matematiken och i vardagen.

Teori

En linjär funktion kan skrivas på formen:

y =\nobreak kx +\nobreak m

Där:

$\displaystyle y$ är den beroende variabeln (värdet på y-axeln).
$\displaystyle x$ är den oberoende variabeln (värdet på x-axeln).
$\displaystyle k$ är lutningen (riktningskoefficienten) som beskriver hur brant linjen är.
$\displaystyle m$ är y-interceptet, det vill säga där linjen skär y-axeln.

Viktigt att komma ihåg

Om $\displaystyle k$ är positiv lutar linjen uppåt från vänster till höger.
Om $\displaystyle k$ är negativ lutar linjen nedåt från vänster till höger.
Om $\displaystyle k = 0$ är linjen horisontell.
$\displaystyle m$ anger var linjen skär y-axeln, alltså y-värdet när $\displaystyle x = 0$ .

Att rita grafen till en linjär funktion

Identifiera $\displaystyle m$ (y-interceptet) och markera denna punkt på y-axeln.
Använd $\displaystyle k$ (lutningen) för att hitta en annan punkt på linjen:
- Gå 1 steg åt höger och $\displaystyle k$ steg uppåt om $\displaystyle k$ är positiv.
- Gå 1 steg åt höger och $\displaystyle |k|$ steg nedåt om $\displaystyle k$ är negativ.
Dra en rak linje genom dessa två punkter.

Interaktivt test: justera lutning och skärning

Dra i reglagen och se grafen ändras

När $\displaystyle k$ ändras blir linjen brantare eller flackare. När $\displaystyle m$ ändras flyttas linjen upp eller ner.

Justera värden

Prova olika kombinationer av $\displaystyle k$ och $\displaystyle m$ .

Lutning

\displaystyle k

2

Skärning

\displaystyle m

1

y =\nobreak 2x +\nobreak 1

x	y
0	1
1	3
2	5

Dynamisk graf

$\displaystyle y = 2x + 1$

Lodrät axel: y

−2−10123−4−3−2−1012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Rita grafen

Uppgift: Rita grafen till funktionen $\displaystyle y=2x+1$ .

Exempel 2: Tolka grafen

Uppgift: Bestäm $\displaystyle k$ och $\displaystyle m$ för linjen i grafen nedan.

Grafen för

$\displaystyle y = -x + 2$

Lodrät axel: y

−2−10123−101234

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Exempel 3: Vardaglig tillämpning

Uppgift: En taxiresa kostar 50 kr i startavgift och sedan 10 kr per kilometer. Skriv en linjär funktion som beskriver kostnaden $\displaystyle y$ i kronor beroende på antal körda kilometer $\displaystyle x$ .

Vanliga misstag

Undvik detta

Förväxla $\displaystyle x$ och $\displaystyle y$ när du ritar grafen.
Glömma att ta hänsyn till y-interceptet $\displaystyle m$ .
Misstolka lutningen $\displaystyle k$ som positiv när den är negativ (eller tvärtom).

Testa dig själv

Testa dig själv1/3

Om $\displaystyle k > 0$ , hur lutar linjen?

Vanliga frågor

Tips för att bemästra linjära funktioner

Studietips

Träna på att identifiera k och m: Öva på att snabbt hitta lutningen och y-interceptet i olika linjära ekvationer.
Skissa grafer för hand: Att kunna rita för hand hjälper dig att förstå sambandet mellan ekvation och graf.
Använd rutat papper: Det blir lättare att placera punkter och dra raka linjer.
Tänk på lutningen som "rise over run": För varje steg åt höger (run), hur många steg går du uppåt eller nedåt (rise)?
Koppla till verkligheten: Leta efter linjära samband i vardagen, som kostnaden för en taxiresa eller sambandet mellan tid och sträcka vid konstant hastighet.

Kom ihåg

En linjär funktion beskriver alltid en rät linje. Om du plottar punkter från funktionen och de inte bildar en rät linje, har du antingen gjort ett misstag i beräkningarna eller så är funktionen inte linjär.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i samband för Åk 9. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här