Ekvationssystem med grafisk lösning (Åk 9) | Kapitel 1.7

Bakgrund

Ekvationssystem är ett kraftfullt verktyg när vi har flera okända variabler och flera samband mellan dessa variabler. I årskurs 9 fokuserar vi på linjära ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta, och hur vi kan lösa dessa grafiskt.

Teori

Ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta kan skrivas som:

\begin{cases} ax +\nobreak by =\nobreak c \\ dx +\nobreak ey =\nobreak f \end{cases}

där $\displaystyle x$ och $\displaystyle y$ är obekanta variabler, och $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ , $\displaystyle d$ , $\displaystyle e$ och $\displaystyle f$ är kända tal.

För att lösa systemet grafiskt följer vi dessa steg:

Rita upp koordinatsystemet.
Rita grafen för den första ekvationen.
Rita grafen för den andra ekvationen.
Hitta skärningspunkten mellan linjerna.

Skärningspunkten ger lösningen, det vill säga de värden på $\displaystyle x$ och $\displaystyle y$ som uppfyller båda ekvationerna samtidigt.

Observera

En unik lösning: linjerna skär varandra i exakt en punkt.
Ingen lösning: linjerna är parallella och skär aldrig varandra.
Oändligt många lösningar: linjerna sammanfaller helt.

Fördjupning

För att kunna rita graferna effektivt är det bra att identifiera linjens lutning (k-värde) och y-intercept (m-värde) i ekvationen $\displaystyle y = kx + m$ . Det gör att du snabbt kan skissa linjerna utan att beräkna många punkter.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Lös ekvationssystemet grafiskt

Uppgift: Lös ekvationssystemet $\displaystyle y=2x+1$ och $\displaystyle y=-x+4$ grafiskt.

Exempel 2: Praktisk tillämpning

Uppgift: Lisa och Kalle säljer kakor och muffins för att samla in pengar till klasskassan. En kaka kostar 10 kr och en muffins kostar 15 kr. De har sålt totalt 50 bakverk och fått in 600 kr. Hur många kakor respektive muffins har de sålt?

Lösning:

Låt $\displaystyle x$ vara antal kakor och $\displaystyle y$ antal muffins.
Ställ upp ekvationssystemet:

\begin{cases} x +\nobreak y =\nobreak 50 \\ 10x +\nobreak 15y =\nobreak 600 \end{cases}

Omvandla till y-form:

\begin{cases} y =\nobreak 50 -\nobreak x \\ y = 40 -\nobreak \frac{2}{3}x \end{cases}

Grafisk lösning för kakor och muffins

Lodrät axel: Antal muffins (y)

01020304050600102030405060

Vågrät axel: Antal kakor (x)

Varje ruta motsvarar 10 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

Heldragen: $\displaystyle y = 50 - x$
Streckad: $\displaystyle y = 40 - (2/3)x$

Markerade punkter (ungefär):

(30; 20)

Skärningspunkt	Tolkning
$\displaystyle (30, 20)$	30 kakor och 20 muffins

Lisa och Kalle har sålt 30 kakor och 20 muffins.

Vanliga misstag

Undvik detta

Glömma att märka ut axlarna och skala koordinatsystemet korrekt.
Rita linjerna felaktigt på grund av misstolkning av lutning eller y-skärning.
Inte vara noggrann nog när man läser av skärningspunkten.
Glömma att kontrollera lösningen genom att sätta in värdena i de ursprungliga ekvationerna.

Testa dig själv

Testa dig själv1/3

Vad representerar skärningspunkten mellan två linjer?

Vanliga frågor

Tips för att bemästra grafisk lösning

Viktigt att tänka på

Välj en lämplig skala för att kunna läsa av skärningspunkten tydligt.
Använd olika färger för linjerna.
Markera skärningspunkten och ange koordinaterna.
Kontrollera alltid lösningen genom att sätta in värdena i båda ekvationerna.
Öva på att snabbt hitta k-värde och m-värde för att skissa linjer effektivt.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i samband för Åk 9. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här