Kapitel 3.3.7: Tillväxt med begränsningar | Matematik 5

Bakgrund

Ingen population kan växa exponentiellt för alltid, eftersom mat och utrymme tar slut. Den logistiska modellen tar hänsyn till det: tillväxten är nästan exponentiell när populationen är liten men avtar när den närmar sig miljöns bärförmåga.

Teori

P'=rP\left(1-\nobreak \dfrac{P}{K}\right)

Här är $\displaystyle r$ tillväxttakten och $\displaystyle K$ bärförmågan. Lösningen med $\displaystyle P(0)=P_0$ är

P(t)=\dfrac{K}{1+\nobreak Ae^{-\nobreak rt}},\qquad\allowbreak A=\dfrac{K-\nobreak P_0}{P_0}

Grafen är S-formad. Den har en inflexionspunkt vid $\displaystyle P=\frac{K}{2}$ , där tillväxten är som snabbast.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Fiskar i en sjö

Uppgift: En sjö har bärförmågan 2 000 fiskar. Man planterar ut 100 fiskar och $\displaystyle r=0{,}6$ per år. Hur många fiskar finns efter 5 år?

Exempel 2: När växer populationen snabbast?

Uppgift: När växer fiskpopulationen i exempel 1 snabbast?

Interaktiva funktioner

Logistisk och exponentiell tillväxt

Välj tillväxttakt, bärförmåga och startvärde.

Tillväxttakt: $\displaystyle r=0{,}5$

Bärförmåga: $\displaystyle K=100$

Startvärde: $\displaystyle P_0=10$

P(t)=\dfrac{100}{1+\nobreak 9e^{-\nobreak 0{,}5t}}

Tillväxten är snabbast när $\displaystyle P=\frac{K}{2}=50$ , vid $\displaystyle t\approx4{,}4$ .

Logistisk tillväxt jämförd med exponentiell

Lodrät axel: P

036912150255075100125

Vågrät axel: t

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 25.

Heldragen: $\displaystyle P=\dfrac{K}{1+Ae^{-rt}}$
Streckad: $\displaystyle P=P_0e^{rt}$
Prickad: $\displaystyle P=100$

Vanliga misstag

Att tro att populationen når bärförmågan exakt. Den närmar sig den bara.
Att räkna ut konstanten A med fel tecken.

Vanliga frågor

Tips för logistisk tillväxt

Viktigt att tänka på

Bestäm K och r ur sammanhanget först.
Kontrollera att lösningen ger rätt startvärde.

Testa dig själv: Tillväxt med begränsningar1/3

Vid vilken populationsstorlek växer $\displaystyle P'=rP(1-P/K)$ snabbast?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här