Kapitel 3.3.8: Blandningsproblem | Matematik 5

Bakgrund

I ett blandningsproblem strömmar en lösning in i en behållare och blandningen strömmar ut. Mängden av ett ämne i behållaren ändras med skillnaden mellan det som kommer in och det som går ut. Samma modell beskriver föroreningar i sjöar, läkemedel i blodet och luft i ett rum.

Teori

\dfrac{dm}{dt}=\text{(inflöde av ämne)}-\text{(utflöde av ämne)}

Om volymen $\displaystyle V$ är konstant, inflödet har koncentrationen $\displaystyle c$ och flödet är $\displaystyle q$ liter per minut blir

m'=cq-\nobreak \dfrac{m}{V}q\ \Leftrightarrow\ m'+\nobreak \dfrac{q}{V}m=\nobreak cq

Det är en ekvation av typen $\displaystyle y'+ay=b$ med jämvikten $\displaystyle m=cV$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Salt i en tank

Uppgift: En tank innehåller 100 liter rent vatten. Saltlösning med 0,2 kg/l strömmar in med 5 l/min och lika mycket rinner ut. Bestäm saltmängden $\displaystyle m(t)$ .

Interaktiva funktioner

Salt i tanken

Tanken rymmer 100 liter och innehåller från början rent vatten.

Inflödets koncentration: $\displaystyle c=0{,}2\text{ kg/l}$

Flöde: $\displaystyle q=5\text{ l/min}$

m(t)=20\left(1-\nobreak e^{-\nobreak 0{,}05t}\right)

Saltmängden i tanken

Lodrät axel: m (kg)

02040608010012001020304050

Vågrät axel: t (minuter)

Varje ruta motsvarar 20 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

Heldragen: $\displaystyle m=20\left(1-e^{-0{,}05t}\right)$
Streckad: $\displaystyle m=20$

Vanliga misstag

Att använda inflödets koncentration för utflödet.
Att glömma att volymen kan ändras om inflöde och utflöde är olika.
Att blanda ihop liter och kilogram.

Vanliga frågor

Tips för blandningsproblem

Viktigt att tänka på

Skriv inflöde minus utflöde med enheter.
Bestäm jämvikten för att kontrollera lösningen.

Testa dig själv: Blandningsproblem1/3

En tank med 100 liter vatten får tillflöde av saltlösning med 0,2 kg salt per liter, 5 liter per minut, och lika mycket rinner ut. Vilken mängd salt finns i jämvikt?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här