Kapitel 3.3.6: Förändringsmodeller | Matematik 5

Bakgrund

Differentialekvationer används för att modellera verkliga förlopp. Man beskriver hur snabbt något ändras och får en ekvation, som sedan löses och tolkas. Tre grundmodeller återkommer ofta: exponentiell tillväxt, logistisk tillväxt och Newtons avsvalningslag.

Teori

Modell	Ekvation	Tolkning
Exponentiell	$\displaystyle P'=rP$	Tillväxten är proportionell mot storleken
Logistisk	$\displaystyle P'=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)$	Tillväxten bromsas när storleken närmar sig bärförmågan $\displaystyle K$
Avsvalning	$\displaystyle T'=-k(T-T_{\text{omg}})$	Temperaturskillnaden minskar exponentiellt

Arbetsgång: bestäm vilken storhet som ändras, uttryck förändringshastigheten, lös ekvationen, bestäm konstanter med data och tolka resultatet.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Exponentiell modell

Uppgift: En bakteriekultur fördubblas på 3 timmar. Ställ upp och lös en modell $\displaystyle N'=rN$ med $\displaystyle N(0)=500$ .

Exempel 2: Tolka en modell

Uppgift: En fiskpopulation följer $\displaystyle P'=0{,}4P\left(1-\frac{P}{50}\right)$ , där $\displaystyle P$ är antalet tusen fiskar. Vad betyder talen?

Interaktiva funktioner

Logistisk och exponentiell tillväxt

Välj tillväxttakt, bärförmåga och startvärde.

Tillväxttakt: $\displaystyle r=0{,}5$

Bärförmåga: $\displaystyle K=100$

Startvärde: $\displaystyle P_0=10$

P(t)=\dfrac{100}{1+\nobreak 9e^{-\nobreak 0{,}5t}}

Tillväxten är snabbast när $\displaystyle P=\frac{K}{2}=50$ , vid $\displaystyle t\approx4{,}4$ .

Logistisk tillväxt jämförd med exponentiell

Lodrät axel: P

036912150255075100125

Vågrät axel: t

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 25.

Heldragen: $\displaystyle P=\dfrac{K}{1+Ae^{-rt}}$
Streckad: $\displaystyle P=P_0e^{rt}$
Prickad: $\displaystyle P=100$

Vanliga misstag

Att välja exponentiell modell när det finns en naturlig övre gräns.
Att glömma enheter för konstanterna.
Att tolka modellen långt utanför det område där data finns.

Vanliga frågor

Tips för förändringsmodeller

Viktigt att tänka på

Skriv tydligt vad varje variabel och konstant betyder.
Kontrollera rimligheten med enheter och gränsvärden.

Testa dig själv: Förändringsmodeller1/3

En befolkning växer med 2 procent per år av den aktuella storleken. Vilken modell passar?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här