Differentialekvationer

Differentialekvationer beskriver förändring. Kapitlet behandlar lösningsmetoder för första och andra ordningen och många tillämpningar.

På den här sidan

Bakgrund

En differentialekvation är en ekvation där den okända är en funktion och där funktionens derivator ingår. De beskriver hur något förändras: radioaktivt sönderfall, befolkningstillväxt, avsvalning, fallrörelse och svängningar. Att lösa ekvationen ger en formel för hur storheten utvecklas med tiden.

Teori

Ordning: den högsta derivata som ingår. $\displaystyle y'=2y$ är av första ordningen och $\displaystyle y''+y=0$ av andra.
Lösning: en funktion som uppfyller ekvationen för alla x i ett intervall.
Allmän lösning: alla lösningar, med en eller flera godtyckliga konstanter.
Begynnelsevillkor: ett känt värde, till exempel $\displaystyle y(0)=4$ , som bestämmer konstanterna.

y'+\nobreak ay=\nobreak 0\ \Rightarrow\ y=\nobreak Ce^{-\nobreak ax},\qquad\allowbreak y''+\nobreak ay'+\nobreak by=\nobreak 0\ \Rightarrow\ \text{karakteristisk ekvation }r^2+ar+b=\nobreak 0

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Kontrollera en lösning

Uppgift: Visa att $\displaystyle y=Ce^{-3x}$ löser $\displaystyle y'+3y=0$ för alla konstanter $\displaystyle C$ .

Exempel 2: Begynnelsevillkor

Uppgift: Bestäm den lösning till $\displaystyle y'=-0{,}5y$ som uppfyller $\displaystyle y(0)=4$ .

Interaktiva funktioner

Riktningsfält och lösningskurva

Differentialekvationen $\displaystyle y'=-ky$ . Välj konstanten $\displaystyle k$ och startvärdet $\displaystyle y(0)$ .

Konstant: $\displaystyle k=0{,}5$

Startvärde: $\displaystyle y(0)=4$

y=4e^{-\nobreak 0{,}5x}

Med positivt $\displaystyle k$ avtar lösningarna mot noll: sönderfall eller avsvalning.

Riktningsfältet och lösningen genom startpunkten

0123456−4−2024

Vågrät axel: x. Lodrät axel: y. Varje streck visar lutningen som en lösningskurva har i den punkten.

Heldragen blå kurva: $\displaystyle y=4e^{-0{,}5x}$

Vanliga misstag

Att glömma konstanten i den allmänna lösningen.
Att sätta in begynnelsevillkoret innan den allmänna lösningen är bestämd.
Att blanda ihop ordning och grad.

Vanliga frågor

Tips för differentialekvationer

Viktigt att tänka på

Kontrollera alltid lösningen genom insättning.
Rita ett riktningsfält för att få en bild av lösningarna.

Testa dig själv: Differentialekvationer1/3

Vilken ordning har $\displaystyle y''+3y'-y=x$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här