Svängning

Svängningar beskrivs av andra ordningens differentialekvationer. Här behandlas dämpning, tvungen svängning och resonans.

På den här sidan

Bakgrund

Svängningar finns överallt: gungor, gitarrsträngar, bilars stötdämpare och elektriska kretsar. De beskrivs av andra ordningens differentialekvationer. Beroende på dämpning och yttre kraft kan svängningen vara fri, dämpad eller tvungen, och vid resonans kan den bli farligt stor.

Teori

Newtons andra lag för en massa i en fjäder med dämpning och yttre kraft ger

my''+\nobreak cy'+\nobreak ky=\nobreak F(t)

Typ	Ekvation	Beteende
Fri, odämpad	$\displaystyle y''+\omega_0^2y=0$	Harmonisk svängning, $\displaystyle \omega_0=\sqrt{k/m}$
Dämpad	$\displaystyle y''+2\delta y'+\omega_0^2y=0$	Avtagande amplitud
Tvungen	$\displaystyle y''+2\delta y'+\omega_0^2y=F_0\cos\omega t$	Följer den yttre kraften, resonans nära $\displaystyle \omega_0$

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Fjäder

Uppgift: En massa på 0,5 kg hänger i en fjäder med fjäderkonstanten 8 N/m. Den dras ner 0,1 m och släpps. Bestäm läget $\displaystyle y(t)$ .

Exempel 2: Resonans

Uppgift: Visa att $\displaystyle y''+4y=\cos2t$ har en lösning som växer obegränsat.

Interaktiva funktioner

Tvungen svängning och resonans

Ekvationen $\displaystyle y''+cy'+4y=\cos\omega t$ . Amplituden blir störst när $\displaystyle \omega$ ligger nära egenfrekvensen 2.

Drivande vinkelfrekvens: $\displaystyle \omega=1{,}5$

Dämpning: $\displaystyle c=0{,}3$

A(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{(4-\nobreak \omega^2)^2+\nobreak (c\,\omega)^2}}\approx\nobreak 0{,}553

Amplituden som funktion av den drivande frekvensen

Lodrät axel: amplitud

01230123

Vågrät axel: drivande vinkelfrekvens

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=A(\omega)$

Markerade punkter (ungefär):

Vald frekvens: (1,5; 0,5534)

Långt från resonans är amplituden liten.

Vanliga misstag

Att glömma att dela med massan när ekvationen skrivs på standardform.
Att blanda ihop vinkelfrekvens och frekvens.
Att tro att resonans bara handlar om stora krafter. Det handlar om rätt frekvens.

Vanliga frågor

Tips för svängningar

Viktigt att tänka på

Skriv ekvationen på standardform genom att dela med massan.
Jämför den drivande frekvensen med egenfrekvensen.

Testa dig själv: Svängning1/3

En massa på 0,5 kg hänger i en fjäder med $\displaystyle k=8\text{ N/m}$ . Vilken vinkelfrekvens har svängningen?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här