Kapitel 3.4.4: Inhomogena differentialekvationer | Matematik 5

Bakgrund

En inhomogen ekvation $\displaystyle y''+ay'+by=f(x)$ beskriver ett system som påverkas av en yttre kraft, till exempel en fjäder som drivs av en motor. Lösningen är den homogena lösningen plus en partikulärlösning som följer den yttre kraften.

Teori

y=\nobreak y_h+\nobreak y_p

Högerled	Ansats
Konstant	$\displaystyle A$
Polynom av grad $\displaystyle n$	Polynom av grad $\displaystyle n$
$\displaystyle e^{kx}$	$\displaystyle Ae^{kx}$
$\displaystyle \sin\omega x$ eller $\displaystyle \cos\omega x$	$\displaystyle A\sin\omega x+B\cos\omega x$

Om ansatsen redan löser den homogena ekvationen multipliceras den med $\displaystyle x$ , och vid dubbelrot eventuellt med $\displaystyle x^2$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Polynom

Uppgift: Lös $\displaystyle y''+y'-2y=4x$ .

Exempel 2: Trigonometriskt högerled

Uppgift: Bestäm en partikulärlösning till $\displaystyle y''+y=3\cos2x$ .

Interaktiva funktioner

Rotfallen för andra ordningen

Ekvationen $\displaystyle y''+ay'+by=0$ med $\displaystyle y(0)=1$ och $\displaystyle y'(0)=0$ . Välj $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ .

Dämpning: $\displaystyle a=0{,}5$

Styvhet: $\displaystyle b=4$

r^2+\nobreak 0{,}5r+\nobreak 4=\nobreak 0

r=-\nobreak 0{,}25\pm\nobreak 1{,}98i

\begin{aligned}y=\nobreak {}&e^{-\nobreak 0{,}25x}\big(\cos 1{,}98x\\&+0{,}13\sin 1{,}98x\big)\end{aligned}

Komplexa rötter: dämpad svängning.

Lösningen med startvärdena

Lodrät axel: y

03610−101

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=e^{-0{,}25x}\big(\cos 1{,}98x+0{,}13\sin 1{,}98x\big)$

Vanliga misstag

Att bestämma C1 och C2 innan partikulärlösningen lagts till.
Att glömma sinus i ansatsen när högerledet bara innehåller cosinus.
Att missa resonansfallet.

Vanliga frågor

Tips för inhomogena ekvationer

Viktigt att tänka på

Lös den homogena ekvationen först.
Kontrollera att ansatsen inte redan finns i den homogena lösningen.

Testa dig själv: Inhomogena differentialekvationer1/3

Vilken ansats passar för $\displaystyle y''+y'-2y=4x$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här