Differentialekvationer med digitala verktyg

Digitala verktyg löser differentialekvationer numeriskt. Här skrivs andra ordningen som ett system och metodernas fel undersöks.

På den här sidan

Bakgrund

De flesta differentialekvationer i verkligheten kan inte lösas med formler. Digitala verktyg som kalkylprogram, grafräknare och programmeringsspråk löser dem numeriskt, ritar riktningsfält och lösningskurvor och gör det möjligt att undersöka hur parametrar påverkar resultatet.

Teori

Andra ordningen som system

Inför hastigheten $\displaystyle v=y'$ . Då blir $\displaystyle y''=f(x,y,y')$ två ekvationer av första ordningen:

y'=\nobreak v,\qquad\allowbreak v'=\nobreak f(x,y,v)

Eulers metod tar steg i båda samtidigt:

y_{n+\nobreak 1}=\nobreak y_n+\nobreak h\,v_n,\qquad\allowbreak v_{n+\nobreak 1}=\nobreak v_n+\nobreak h\,f(x_n,y_n,v_n)

Att tänka på

Kontrollera alltid med mindre steglängd.
Jämför med en exakt lösning när den finns.
Vissa metoder ger fel som växer över tiden, till exempel en svängning vars amplitud ökar.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Ett kalkylprogram

Uppgift: Beskriv hur $\displaystyle y''=-y$ med $\displaystyle y(0)=1$ och $\displaystyle y'(0)=0$ löses i ett kalkylprogram med $\displaystyle h=0{,}1$ .

Interaktiva funktioner

Euler för en svängning

Ekvationen $\displaystyle y''=-y$ med $\displaystyle y(0)=1$ och $\displaystyle y'(0)=0$ . Den exakta lösningen är $\displaystyle \cos x$ .

Steglängd: $\displaystyle h=0{,}1$

y(10)\approx-\nobreak 1{,}4088,\qquad\allowbreak \cos10\approx-\nobreak 0{,}8391,\qquad\allowbreak \text{fel}\approx\nobreak 0{,}5698

Eulers lösning jämförd med den exakta

Lodrät axel: y

03610−2−1012

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=\cos x$

Punkterna är Eulers uppskattningar. Med stor steglängd växer amplituden tydligt, med liten steglängd följer punkterna kurvan.

Vanliga misstag

Att lita på ett numeriskt resultat utan att pröva mindre steglängd.
Att glömma att uppdatera båda variablerna med gamla värden i samma steg.

Vanliga frågor

Tips för digitala verktyg

Viktigt att tänka på

Börja med en känd ekvation för att kontrollera att verktyget används rätt.
Variera parametrar för att se hur lösningen påverkas.

Testa dig själv: Digitala verktyg1/3

Varför behövs digitala verktyg för många differentialekvationer?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här