Separabla differentialekvationer

Separabla differentialekvationer löses genom att variablerna delas upp och integreras var för sig.

På den här sidan

Bakgrund

En differentialekvation är separabel om variablerna kan delas upp: allt med $\displaystyle y$ på ena sidan och allt med $\displaystyle x$ på den andra. Då kan båda sidorna integreras var för sig. Metoden fungerar även för många icke-linjära ekvationer.

Teori

\dfrac{dy}{dx}=\nobreak g(x)\,h(y)\ \Leftrightarrow\ \dfrac{dy}{h(y)}=\nobreak g(x)\,dx\ \Rightarrow\ \int\dfrac{dy}{h(y)}=\nobreak \int g(x)\,dx

Skriv derivatan som $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .
Separera variablerna. Dividera med $\displaystyle h(y)$ , men kontrollera först om $\displaystyle h(y)=0$ ger konstanta lösningar.
Integrera båda sidorna och lägg till en konstant.
Lös ut $\displaystyle y$ om det går och bestäm konstanten med villkoret.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Exponentiell lösning

Uppgift: Lös $\displaystyle y'=xy$ med $\displaystyle y(0)=2$ .

Exempel 2: Implicit lösning

Uppgift: Lös $\displaystyle y'=-\frac{x}{y}$ med $\displaystyle y(0)=3$ .

Interaktiva funktioner

Lösningar till $\displaystyle y'=xy$

Välj startvärdet $\displaystyle y(0)=C$ . Lösningen är $\displaystyle y=Ce^{x^2/2}$ .

Startvärde: $\displaystyle C=1$

y=e^{x^2/2}

Riktningsfält och lösningskurva

−2−1012−4−2024

Vågrät axel: x. Lodrät axel: y. Varje streck visar lutningen som en lösningskurva har i den punkten.

Heldragen blå kurva: $\displaystyle y=e^{x^2/2}$

Vanliga misstag

Att glömma integrationskonstanten.
Att tappa konstanta lösningar när man dividerar med h(y).
Att glömma absolutbeloppet i logaritmen.

Vanliga frågor

Tips för separabla ekvationer

Viktigt att tänka på

Kontrollera konstanta lösningar innan du dividerar.
Kontrollera svaret genom att derivera.

Testa dig själv: Separabla differentialekvationer1/3

Är $\displaystyle y'=x^2y$ separabel?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här