Mer om derivata

Kapitlet använder derivatan för approximationer, numerisk ekvationslösning och nya metoder för differentialekvationer.

På den här sidan

Bakgrund

I Ma5 används derivatan för att approximera: en tangent ersätter kurvan nära en punkt, ett polynom kan efterlikna en funktion allt bättre, och tangenter används för att hitta nollställen numeriskt. Derivatan är också nyckeln till två nya metoder för differentialekvationer.

Teori

Avsnitt	Idé
Linjär approximation	$\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$
Maclaurinutveckling	$\displaystyle f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots$
Newton-Raphson	$\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
Separabla ekvationer	$\displaystyle g(y)\,dy=h(x)\,dx$
Integrerande faktor	Multiplicera med $\displaystyle e^{\int a(x)\,dx}$

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Linjär approximation

Uppgift: Uppskatta $\displaystyle \sqrt{4{,}1}$ med en tangent.

Interaktiva funktioner

Maclaurinpolynom för exponentialfunktionen

Välj gradtalet. Polynomet närmar sig $\displaystyle e^x$ nära $\displaystyle x=0$ .

Gradtal: $\displaystyle n=3$

p_{3}(x)=1+\nobreak x+\nobreak \dfrac{x^{2}}{2!}+\nobreak \dfrac{x^{3}}{3!}

p_{3}(1)\approx2{,}66667,\qquad\allowbreak e\approx2{,}71828

Exponentialfunktionen och Maclaurinpolynomet

Lodrät axel: y

−3−2−10123−2−10123456789101112

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=e^x$
Streckad: $\displaystyle y=p_{3}(x)$

Vanliga misstag

Att använda approximationen långt från punkten där den är gjord.
Att glömma fakulteterna i Maclaurinutvecklingen.

Vanliga frågor

Tips för mer om derivata

Viktigt att tänka på

Rita funktionen och approximationen för att se var den är bra.
Kontrollera med räknaren.

Testa dig själv: Mer om derivata1/3

Vilken linjär approximation har $\displaystyle \sqrt{x}$ nära $\displaystyle x=4$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här