Newton-Raphsons metod

Newton-Raphsons metod hittar nollställen genom att följa tangenter. Här tränas metoden och när den kan misslyckas.

På den här sidan

Bakgrund

Newton-Raphsons metod hittar nollställen genom att upprepade gånger ersätta kurvan med tangenten och gå till tangentens skärning med x-axeln. När startvärdet är bra fördubblas antalet korrekta decimaler ungefär i varje steg.

Teori

Tangenten i $\displaystyle x_n$ är $\displaystyle y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)$ . Den skär x-axeln där $\displaystyle y=0$ :

x_{n+\nobreak 1}=x_n-\nobreak \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Välj startvärde nära nollstället, gärna med hjälp av en graf.
Upprepa tills två på varandra följande värden stämmer på önskat antal decimaler.
Om $\displaystyle f'(x_n)$ är nära noll kan steget bli mycket stort.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Roten ur 2

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \sqrt{2}$ med Newton-Raphson på $\displaystyle f(x)=x^2-2$ och $\displaystyle x_0=1$ .

Exempel 2: Tredjegradsekvation

Uppgift: Lös $\displaystyle x^3-2x-5=0$ med $\displaystyle x_0=2$ .

Interaktiva funktioner

Newton-Raphson för x i kub minus 2x minus 5

Välj startvärde. Varje steg följer tangenten till x-axeln.

Startvärde: $\displaystyle x_0=2$

x_{0}\approx\nobreak 2,\quad\allowbreak x_{1}\approx\nobreak 2{,}1,\quad\allowbreak x_{2}\approx2{,}094568,\quad\allowbreak x_{3}\approx2{,}094551,\quad\allowbreak x_{4}\approx2{,}094551,\quad\allowbreak x_{5}\approx2{,}094551

Följden har konvergerat mot nollstället, ungefär 2,094551.

Funktionen och tangenten i startpunkten

Lodrät axel: y

−3−2−101234−20−100102030

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

Heldragen: $\displaystyle y=x^3-2x-5$
Streckad: Tangent i startpunkten

Markerade punkter (ungefär):

Startpunkt: (2; −1)
Nästa värde: (2,1; 0)

Vanliga misstag

Att glömma minustecknet i formeln.
Att använda derivatan i fel punkt.
Att inte kontrollera att metoden konvergerar.

Vanliga frågor

Tips för Newton-Raphson

Viktigt att tänka på

Rita grafen för att välja startvärde.
Stoppa när två värden i rad stämmer på önskat antal decimaler.

Testa dig själv: Newton-Raphsons metod1/3

Använd ett steg av Newton-Raphson på $\displaystyle f(x)=x^2-2$ med $\displaystyle x_0=1$ . Vad blir $\displaystyle x_1$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här