Integrerande faktor

Med en integrerande faktor blir vänsterledet derivatan av en produkt, så att ekvationen kan integreras direkt.

På den här sidan

Bakgrund

För linjära ekvationer $\displaystyle y'+a(x)y=f(x)$ där $\displaystyle a$ eller $\displaystyle f$ varierar finns en allmän metod: integrerande faktor. Man multiplicerar ekvationen med en funktion så att vänsterledet blir derivatan av en produkt, och kan sedan integrera direkt.

Teori

Låt $\displaystyle A(x)$ vara en primitiv funktion till $\displaystyle a(x)$ . Multiplicera med $\displaystyle e^{A(x)}$ :

e^{A(x)}y'+a(x)e^{A(x)}y=\big(e^{A(x)}y\big)'=e^{A(x)}f(x)

Integrera båda leden:

e^{A(x)}y=\int e^{A(x)}f(x)\,dx+\nobreak C\ \Rightarrow\ y=e^{-\nobreak A(x)}\left(\int e^{A(x)}f(x)\,dx+C\right)

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Konstant koefficient

Uppgift: Lös $\displaystyle y'+2y=4x$ med $\displaystyle y(0)=1$ .

Exempel 2: Variabel koefficient

Uppgift: Lös $\displaystyle y'+\frac{1}{x}y=3x$ för $\displaystyle x>0$ .

Interaktiva funktioner

Lösningar till $\displaystyle y'+2y=4x$

Välj startvärdet. Alla lösningar närmar sig linjen $\displaystyle y=2x-1$ .

Startvärde: $\displaystyle y(0)=1$

y=2x-\nobreak 1+\nobreak 2e^{-\nobreak 2x}

Riktningsfält, lösning och den linje som lösningarna närmar sig

−10123−4−20246

Vågrät axel: x. Lodrät axel: y. Varje streck visar lutningen som en lösningskurva har i den punkten.

Heldragen blå kurva: lösningen genom startpunkten
Heldragen röd kurva: $\displaystyle y=2x-1$

Vanliga misstag

Att glömma att multiplicera högerledet med faktorn.
Att ta med en konstant i den integrerande faktorn. Den behövs inte.
Att glömma konstanten C när högerledet integreras.

Vanliga frågor

Tips för integrerande faktor

Viktigt att tänka på

Skriv ekvationen på formen $\displaystyle y'+a(x)y=f(x)$ först.
Kontrollera att vänsterledet verkligen blir en derivata av en produkt.

Testa dig själv: Integrerande faktor1/3

Vilken integrerande faktor har $\displaystyle y'+2y=x$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här