Riktningsfält för differentialekvationer av första ordningen

Ett riktningsfält visar lösningarnas form utan att ekvationen löses. Här läses lutningar och stabilitet av.

På den här sidan

Bakgrund

Ett riktningsfält visar lösningarnas form utan att ekvationen löses. I varje punkt ritas ett kort streck med den lutning som ekvationen anger. Lösningskurvorna följer strecken, ungefär som järnfilspån följer ett magnetfält.

Teori

För $\displaystyle y'=f(x,y)$ ritas i punkten $\displaystyle (x;\ y)$ ett streck med lutningen $\displaystyle f(x,y)$ .

Där $\displaystyle f(x,y)=0$ är strecken vågräta.
Om högerledet bara beror på $\displaystyle y$ är strecken lika längs varje vågrät linje.
En jämviktslösning är en konstant lösning. Den är stabil om närliggande lösningar närmar sig den och instabil om de avlägsnar sig.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Läsa av lutningar

Uppgift: Bestäm lutningen i punkterna $\displaystyle (0;\ 0)$ , $\displaystyle (2;\ 1)$ och $\displaystyle (1;\ 3)$ för $\displaystyle y'=x-y$ .

Exempel 2: Jämvikter och stabilitet

Uppgift: Bestäm jämviktslösningarna till $\displaystyle y'=y(2-y)$ och avgör deras stabilitet.

Interaktiva funktioner

Riktningsfält för logistisk tillväxt

Ekvationen $\displaystyle y'=c\,y(2-y)$ . Välj konstanten och startvärdet.

Konstant: $\displaystyle c=1$

Startvärde: $\displaystyle y(0)=0{,}5$

Lösningen närmar sig den stabila jämvikten $\displaystyle y=2$ .

Riktningsfält och lösningskurva

012345−101234

Vågrät axel: x. Lodrät axel: y. Varje streck visar lutningen som en lösningskurva har i den punkten.

Heldragen blå kurva: lösningen genom startpunkten
Heldragen röd kurva: $\displaystyle y=2$

Vanliga misstag

Att rita strecken med fel lutning, till exempel byta plats på x och y.
Att låta en lösningskurva korsa en jämviktslinje.

Vanliga frågor

Tips för riktningsfält

Viktigt att tänka på

Hitta först var lutningen är noll.
Följ strecken från startpunkten när du skissar en lösning.

Testa dig själv: Riktningsfält1/3

Vilken lutning har strecket i punkten $\displaystyle (1;\ 2)$ för $\displaystyle y'=x-y$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här