Kapitel 3.3.4: Euler's stegmetod | Matematik 5

Bakgrund

Många differentialekvationer saknar en lösning som kan skrivas med vanliga funktioner. Då används numeriska metoder. Eulers stegmetod är den enklaste: man startar i en känd punkt och tar små steg längs tangenten, vars lutning ges av ekvationen.

Teori

För $\displaystyle y'=f(x,y)$ med $\displaystyle y(x_0)=y_0$ och steglängden $\displaystyle h$ :

x_{n+\nobreak 1}=\nobreak x_n+\nobreak h,\qquad\allowbreak y_{n+\nobreak 1}=y_n+\nobreak h\cdot\nobreak f(x_n,y_n)

Varje steg följer tangenten, som avviker lite från kurvan. Felen samlas på hög. Mindre steglängd ger mindre fel men fler steg. Felet vid en fast slutpunkt är ungefär proportionellt mot $\displaystyle h$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Två steg för hand

Uppgift: Använd Eulers metod med $\displaystyle h=0{,}5$ för att uppskatta $\displaystyle y(1)$ när $\displaystyle y'=x+y$ och $\displaystyle y(0)=1$ .

Exempel 2: Mindre steg

Uppgift: Hur förändras uppskattningen i exempel 1 med $\displaystyle h=0{,}25$ ?

Interaktiva funktioner

Eulers metod för $\displaystyle y'=y$

Startvärde $\displaystyle y(0)=1$ . Jämför med den exakta lösningen $\displaystyle y=e^x$ fram till $\displaystyle x=2$ .

Steglängd: $\displaystyle h=0{,}5$

y_{4}\approx\nobreak 5{,}0625,\qquad\allowbreak e^2\approx\nobreak 7{,}3891,\qquad\allowbreak \text{fel}\approx\nobreak 2{,}3266

Eulers punkter och den exakta lösningen

Lodrät axel: y

012012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=e^x$

Punkterna är Eulers uppskattningar. De hamnar under kurvan, eftersom kurvan böjer sig uppåt och tangenterna ligger under den.

Vanliga misstag

Att använda lutningen i nästa punkt i stället för den aktuella.
Att glömma att uppdatera x i varje steg.
Att tro att resultatet är exakt.

Vanliga frågor

Tips för Eulers metod

Viktigt att tänka på

Gör en tabell med x, y och lutning för varje steg.
Jämför med den exakta lösningen när den finns.

Testa dig själv: Eulers stegmetod1/3

Med Eulers metod, $\displaystyle y'=y$ , $\displaystyle y(0)=1$ och $\displaystyle h=0{,}5$ . Vad blir $\displaystyle y_1$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här