Kapitel 2.1.2: Permutationer och kombinationer | Matematik 5

Bakgrund

När objekt ska ordnas eller väljas ut gäller det att avgöra om ordningen spelar roll. Ordnade val kallas permutationer, oordnade kallas kombinationer. Skillnaden avgör om svaret blir till exempel 336 eller 56.

Teori

n!=n\cdot\nobreak (n-\nobreak 1)\cdots2\cdot\nobreak 1,\qquad\allowbreak 0!=\nobreak 1

Permutationer: antalet sätt att välja och ordna $\displaystyle k$ av $\displaystyle n$ olika objekt är

P(n,k)=n(n-\nobreak 1)\cdots(n-\nobreak k+\nobreak 1)=\dfrac{n!}{(n-\nobreak k)!}

Kombinationer: om ordningen inte spelar roll räknas varje urval $\displaystyle k!$ gånger för mycket bland permutationerna. Dela därför med $\displaystyle k!$ :

\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-\nobreak k)!}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Medaljer

Uppgift: På hur många sätt kan guld, silver och brons delas ut bland 8 löpare?

Exempel 2: Lag

Uppgift: Hur många olika lag om 3 personer kan väljas bland 8?

Exempel 3: Med villkor

Uppgift: En kommitté om 4 ska väljas bland 6 kvinnor och 5 män. Den ska ha exakt 2 kvinnor. Hur många kommittéer finns?

Interaktiva funktioner

Permutationer och kombinationer

Välj hur många objekt som finns och hur många som väljs.

Antal objekt: $\displaystyle n=5$

Antal som väljs: $\displaystyle k=2$

P(5,\ \allowbreak 2)=\dfrac{5!}{3!}=\nobreak 20

\binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\nobreak 10

Varje oordnat urval kan ordnas på $\displaystyle 2!=2$ sätt. Därför är antalet ordnade urval så många gånger större.

Vanliga misstag

Att glömma att dela med $\displaystyle k!$ när ordningen inte spelar roll.
Att räkna med upprepning när varje objekt bara kan väljas en gång.
Att tro att $\displaystyle 0!=0$ . Enligt definitionen är $\displaystyle 0!=1$ .

Vanliga frågor

Tips för permutationer och kombinationer

Viktigt att tänka på

Avgör om ordningen spelar roll innan du räknar.
Kontrollera med ett litet exempel där alla fall kan räknas upp.

Testa dig själv: Permutationer och kombinationer1/3

På hur många sätt kan guld, silver och brons delas ut bland 8 löpare?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här