Kapitel 2: Kombinatorik och mängdlära | Matematik 5

Bakgrund

Kombinatorik handlar om att räkna utan att räkna ett i taget: hur många lösenord, lottorader eller turneringsscheman finns det? Mängdlära ger språket för att beskriva samlingar av objekt. Tillsammans är de grunden för sannolikhetslära och datavetenskap.

Teori

Situation	Antal
Val i flera steg	Multiplicera antalen
Ordna $\displaystyle n$ objekt	$\displaystyle n!$
Välj $\displaystyle k$ av $\displaystyle n$ , ordningen spelar roll	$\displaystyle \dfrac{n!}{(n-k)!}$
Välj $\displaystyle k$ av $\displaystyle n$ , ordningen spelar ingen roll	$\displaystyle \dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

I mängdläran är $\displaystyle A\cup B$ unionen, alla element i minst en av mängderna, och $\displaystyle A\cap B$ snittet, elementen i båda.

|A\cup B|=|A|+\nobreak |B|-\nobreak |A\cap B|

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Lösenord

Uppgift: Ett lösenord består av 2 bokstäver (A till Z, 26 stycken) följda av 3 siffror. Hur många lösenord finns?

Exempel 2: Kommitté

Uppgift: En klass med 25 elever ska välja 3 representanter. På hur många sätt kan det göras?

Interaktiva funktioner

Permutationer och kombinationer

Välj hur många objekt som finns och hur många som väljs.

Antal objekt: $\displaystyle n=5$

Antal som väljs: $\displaystyle k=2$

P(5,\ \allowbreak 2)=\dfrac{5!}{3!}=\nobreak 20

\binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\nobreak 10

Varje oordnat urval kan ordnas på $\displaystyle 2!=2$ sätt. Därför är antalet ordnade urval så många gånger större.

Vanliga misstag

Att använda permutationer när ordningen inte spelar roll.
Att räkna element i snittet två gånger när unionen räknas.
Att multiplicera när fallen utesluter varandra och ska adderas.

Vanliga frågor

Tips för kombinatorik

Viktigt att tänka på

Rita ett träd eller rutor för varje val.
Avgör först om ordningen spelar roll och om upprepning är tillåten.

Testa dig själv: Kombinatorik och mängdlära1/3

På hur många sätt kan 4 personer ställa sig i kö?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här