Kapitel 2.2: Binomialsatsen och lådprincipen | Matematik 5

Bakgrund

Binomialsatsen ger en formel för att utveckla potenser av en summa, som $\displaystyle (a+b)^{10}$ , utan att multiplicera ut parentes för parentes. Lådprincipen är ett enkelt men kraftfullt argument: om fler föremål än lådor fördelas måste någon låda få minst två.

Teori

(a+\nobreak b)^n=\sum_{k=\nobreak 0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-\nobreak k}b^k

Koefficienterna är binomialkoefficienterna, som också bildar Pascals triangel.

Lådprincipen: om $\displaystyle n+1$ föremål läggs i $\displaystyle n$ lådor innehåller minst en låda minst två föremål. Allmänt: om $\displaystyle N$ föremål läggs i $\displaystyle n$ lådor innehåller någon låda minst $\displaystyle \left\lceil\frac{N}{n}\right\rceil$ föremål.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Binomialutveckling

Uppgift: Utveckla $\displaystyle (x+2)^3$ .

Exempel 2: Lådprincipen

Uppgift: Visa att bland fem heltal finns två vars skillnad är delbar med 4.

Interaktiva funktioner

Binomialutveckling och Pascals triangel

Välj exponenten $\displaystyle n$ i $\displaystyle (a+b)^n$ .

Exponent: $\displaystyle n=4$

(a+\nobreak b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Raderna ovan är Pascals triangel. Varje tal är summan av de två talen snett ovanför.

Vanliga misstag

Att glömma binomialkoefficienterna och skriva bara potenserna.
Att glömma att även konstanten b ska upphöjas.
Att tro att lådprincipen säger vilken låda som får flest.

Vanliga frågor

Tips för binomialsatsen och lådprincipen

Viktigt att tänka på

Skriv upp Pascals triangel för små exponenter.
Bestäm vad som är lådor och vad som är föremål.

Testa dig själv: Binomialsatsen och lådprincipen1/3

Vad är koefficienten framför $\displaystyle a^2b^2$ i $\displaystyle (a+b)^4$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här