Kapitel 4.3: Numerisk ekvationslösning | Matematik 5

Bakgrund

Ekvationer som $\displaystyle x^3-2x-5=0$ kan inte lösas med en formel som eleverna har tillgång till. Då används numeriska metoder som ger närmevärden med valfri noggrannhet. Två vanliga metoder är intervallhalvering och Newton-Raphsons metod.

Teori

Intervallhalvering

Om $\displaystyle f$ är kontinuerlig och $\displaystyle f(a)$ och $\displaystyle f(b)$ har olika tecken finns ett nollställe mellan $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ . Beräkna mittpunkten, behåll den halva där teckenbytet finns och upprepa.

Newton-Raphsons metod

x_{n+\nobreak 1}=x_n-\nobreak \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Metoden är snabb men kan misslyckas om startvärdet är dåligt valt eller om derivatan är nära noll.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Intervallhalvering

Uppgift: Lös $\displaystyle x^3-x-1=0$ med tre steg av intervallhalvering i $\displaystyle [1;\ 2]$ .

Interaktiva funktioner

Newton-Raphson för x i kub minus 2x minus 5

Välj startvärde. Varje steg följer tangenten till x-axeln.

Startvärde: $\displaystyle x_0=2$

x_{0}\approx\nobreak 2,\quad\allowbreak x_{1}\approx\nobreak 2{,}1,\quad\allowbreak x_{2}\approx2{,}094568,\quad\allowbreak x_{3}\approx2{,}094551,\quad\allowbreak x_{4}\approx2{,}094551,\quad\allowbreak x_{5}\approx2{,}094551

Följden har konvergerat mot nollstället, ungefär 2,094551.

Funktionen och tangenten i startpunkten

Lodrät axel: y

−3−2−101234−20−100102030

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

Heldragen: $\displaystyle y=x^3-2x-5$
Streckad: Tangent i startpunkten

Markerade punkter (ungefär):

Startpunkt: (2; −1)
Nästa värde: (2,1; 0)

Vanliga misstag

Att använda intervallhalvering där funktionen inte är kontinuerlig.
Att välja ett startvärde där derivatan är nära noll i Newton-Raphson.
Att avbryta innan önskad noggrannhet nås.

Vanliga frågor

Tips för numerisk ekvationslösning

Viktigt att tänka på

Rita grafen och välj startvärde nära nollstället.
Kontrollera svaret genom insättning.

Testa dig själv: Numerisk ekvationslösning1/3

Funktionen $\displaystyle f(x)=x^3-x-1$ har ett nollställe mellan 1 och 2. Varför?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här