Kapitel 4.2: Maclaurinutveckling | Matematik 5

Bakgrund

Ett polynom är lätt att räkna med. Maclaurinutvecklingen ersätter en funktion med ett polynom som har samma värde och samma derivator som funktionen i origo. Ju fler termer, desto bättre blir approximationen nära noll. Så räknar miniräknare ut sinus och exponentialfunktionen.

Teori

p_n(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

Funktion	Maclaurinutveckling
$\displaystyle e^x$	$\displaystyle 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots$
$\displaystyle \sin x$	$\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots$
$\displaystyle \cos x$	$\displaystyle 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots$
$\displaystyle \ln(1+x)$	$\displaystyle x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots$

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Härled en utveckling

Uppgift: Bestäm Maclaurinpolynomet av grad 4 till $\displaystyle \cos x$ .

Exempel 2: Approximation

Uppgift: Uppskatta $\displaystyle \cos0{,}5$ med polynomet ovan.

Interaktiva funktioner

Maclaurinpolynom för exponentialfunktionen

Välj gradtalet. Polynomet närmar sig $\displaystyle e^x$ nära $\displaystyle x=0$ .

Gradtal: $\displaystyle n=3$

p_{3}(x)=1+\nobreak x+\nobreak \dfrac{x^{2}}{2!}+\nobreak \dfrac{x^{3}}{3!}

p_{3}(1)\approx2{,}66667,\qquad\allowbreak e\approx2{,}71828

Exponentialfunktionen och Maclaurinpolynomet

Lodrät axel: y

−3−2−10123−2−10123456789101112

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=e^x$
Streckad: $\displaystyle y=p_{3}(x)$

Vanliga misstag

Att glömma att dela med fakulteten.
Att använda approximationen långt från noll med få termer.
Att räkna med vinklar i grader.

Vanliga frågor

Tips för Maclaurinutveckling

Viktigt att tänka på

Gör en tabell med derivatorna i 0.
Lär dig utvecklingarna för exponentialfunktionen, sinus och cosinus.

Testa dig själv: Maclaurinutveckling1/3

Vilken är Maclaurinutvecklingen av $\displaystyle \sin x$ till grad 3?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här