Kapitel 3.3.10: Newtons avsvalningslag | Matematik 5

Bakgrund

En kopp kaffe svalnar snabbt i början och sedan allt långsammare. Newtons avsvalningslag säger att temperaturen ändras med en hastighet som är proportionell mot skillnaden mot omgivningen. Lagen används till exempel inom kriminalteknik för att uppskatta dödstidpunkt.

Teori

T'=\nobreak -\nobreak k\,(T-\nobreak T_{\text{omg}}),\qquad\allowbreak k>\nobreak 0

Med $\displaystyle T(0)=T_0$ är lösningen

T(t)=T_{\text{omg}}+(T_0-T_{\text{omg}})e^{-\nobreak kt}

Temperaturskillnaden avtar exponentiellt med halveringstiden $\displaystyle \frac{\ln2}{k}$ . Konstanten $\displaystyle k$ beror på föremålet och omgivningen.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Kaffe

Uppgift: Kaffe på 90 grader står i ett rum på 20 grader. Efter 10 minuter är det 60 grader. Bestäm $\displaystyle k$ och temperaturen efter 30 minuter.

Interaktiva funktioner

Avsvalningskurva

Välj starttemperatur, rumstemperatur och konstant.

Starttemperatur: $\displaystyle T_0=90\ ^\circ\text{C}$

Rumstemperatur: $\displaystyle T_{\text{omg}}=20\ ^\circ\text{C}$

Konstant: $\displaystyle k=0{,}05$

T(t)=20+\nobreak 70e^{-\nobreak 0{,}05t}

Skillnaden mot omgivningens temperatur halveras på $\displaystyle \frac{\ln2}{k}\approx13{,}9$ minuter.

Temperaturen över tiden

Lodrät axel: T (grader Celsius)

020406080100120020406080100

Vågrät axel: t (minuter)

Varje ruta motsvarar 20 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 20.

Heldragen: $\displaystyle T=20+70e^{-0{,}05t}$
Streckad: $\displaystyle T=20$

Vanliga misstag

Att glömma omgivningstemperaturen och skriva $\displaystyle T=T_0e^{-kt}$ .
Att använda fel tecken på k.

Vanliga frågor

Tips för avsvalning

Viktigt att tänka på

Skriv lösningen direkt och bestäm k med ett mätvärde.
Kontrollera att temperaturen närmar sig omgivningens.

Testa dig själv: Newtons avsvalningslag1/3

Kaffe på 90 grader står i ett rum på 20 grader. Vad närmar sig temperaturen?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här