Fall med luftmotstånd

Med luftmotstånd närmar sig ett fallande föremål en gränshastighet. Här ställs modellen upp och löses.

På den här sidan

Bakgrund

Ett föremål som faller genom luft bromsas av luftmotståndet. Vid låga hastigheter är motståndet ungefär proportionellt mot hastigheten. Då ger Newtons andra lag en differentialekvation, och hastigheten närmar sig en gränshastighet där luftmotstånd och tyngdkraft tar ut varandra.

Teori

Med massan $\displaystyle m$ och luftmotståndet $\displaystyle bv$ ger Newtons andra lag $\displaystyle mv'=mg-bv$ . Med $\displaystyle k=\frac{b}{m}$ :

v'=\nobreak g-\nobreak kv

Med startvärdet $\displaystyle v(0)=0$ är lösningen

v(t)=\dfrac{g}{k}\left(1-\nobreak e^{-\nobreak kt}\right),\qquad\allowbreak v_{\text{gräns}}=\dfrac{g}{k}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Fallskärmshoppare

Uppgift: En fallskärmshoppare med utfälld skärm har $\displaystyle k=1{,}5$ per sekund. Bestäm gränshastigheten och hastigheten efter 1 s.

Exempel 2: Sträckan

Uppgift: Hur långt faller ett föremål med $\displaystyle k=0{,}2$ under de första 10 sekunderna?

Interaktiva funktioner

Hastighet vid fall

Välj luftmotståndets konstant $\displaystyle k$ .

Luftmotstånd: $\displaystyle k=0{,}2\text{ s}^{-1}$

v_{\text{gräns}}=\dfrac{9{,}8}{0{,}2}\approx\nobreak 49\text{ m/s}

Hastigheten under fallet

Lodrät axel: v (m/s)

0369121501020304050

Vågrät axel: t (sekunder)

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

Heldragen: $\displaystyle v=49\left(1-e^{-0{,}2t}\right)$
Streckad: $\displaystyle v=49$
Prickad: $\displaystyle v=9{,}8t$

Den tredje kurvan visar fritt fall utan luftmotstånd som jämförelse.

Vanliga misstag

Att glömma att luftmotståndet verkar mot rörelsen.
Att tro att hastigheten når gränshastigheten exakt.

Vanliga frågor

Tips för fall med luftmotstånd

Viktigt att tänka på

Bestäm gränshastigheten först genom att sätta derivatan till noll.
Kontrollera att $\displaystyle v(0)=0$ ger rätt konstant.

Testa dig själv: Fall med luftmotstånd1/3

Vad är gränshastigheten för $\displaystyle v'=9{,}8-0{,}2v$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här