Kapitel 3.4: Differentialekvationer av andra ordningen | Matematik 5

Bakgrund

Andra ordningens differentialekvationer innehåller andraderivatan. De beskriver till exempel svängningar i fjädrar, elektriska kretsar och byggnader, eftersom Newtons andra lag kopplar kraft till acceleration, som är andraderivatan av läget.

Teori

För den homogena ekvationen med konstanta koefficienter

y''+\nobreak ay'+\nobreak by=\nobreak 0

ger ansatsen $\displaystyle y=e^{rx}$ den karakteristiska ekvationen $\displaystyle r^2+ar+b=0$ . Rötternas typ avgör lösningens form:

Rötter till $\displaystyle r^2+ar+b=0$	Allmän lösning
Två reella $\displaystyle r_1\neq r_2$	$\displaystyle y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
Dubbelrot $\displaystyle r$	$\displaystyle y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
Komplexa $\displaystyle \alpha\pm\beta i$	$\displaystyle y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

För en inhomogen ekvation $\displaystyle y''+ay'+by=f(x)$ gäller $\displaystyle y=y_h+y_p$ , precis som för första ordningen.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Två reella rötter

Uppgift: Lös $\displaystyle y''-5y'+6y=0$ .

Exempel 2: Med villkor

Uppgift: Lös $\displaystyle y''+9y=0$ med $\displaystyle y(0)=2$ och $\displaystyle y'(0)=3$ .

Interaktiva funktioner

Rotfallen för andra ordningen

Ekvationen $\displaystyle y''+ay'+by=0$ med $\displaystyle y(0)=1$ och $\displaystyle y'(0)=0$ . Välj $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ .

Dämpning: $\displaystyle a=0{,}5$

Styvhet: $\displaystyle b=4$

r^2+\nobreak 0{,}5r+\nobreak 4=\nobreak 0

r=-\nobreak 0{,}25\pm\nobreak 1{,}98i

\begin{aligned}y=\nobreak {}&e^{-\nobreak 0{,}25x}\big(\cos 1{,}98x\\&+0{,}13\sin 1{,}98x\big)\end{aligned}

Komplexa rötter: dämpad svängning.

Lösningen med startvärdena

Lodrät axel: y

03610−101

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=e^{-0{,}25x}\big(\cos 1{,}98x+0{,}13\sin 1{,}98x\big)$

Vanliga misstag

Att glömma att den allmänna lösningen har två konstanter.
Att skriva fel lösning vid dubbelrot, utan faktorn x.
Att blanda ihop koefficienterna i den karakteristiska ekvationen.

Vanliga frågor

Tips för andra ordningen

Viktigt att tänka på

Skriv den karakteristiska ekvationen direkt ur koefficienterna.
Bestäm C1 och C2 med två villkor.

Testa dig själv: Andra ordningens differentialekvationer1/3

Vilken karakteristisk ekvation hör till $\displaystyle y''-5y'+6y=0$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här