Tangenter och linjär approximation

Nära en punkt kan en funktion ersättas med sin tangent. Här används linjär approximation för uppskattningar.

På den här sidan

Bakgrund

Nära en punkt ser en mjuk kurva nästan ut som en rät linje: tangenten. Att ersätta funktionen med tangenten kallas linjär approximation. Det ger snabba uppskattningar och används i fysik, till exempel för små vinklar i en pendel.

Teori

f(x)\approx\nobreak L(x)=f(a)+\nobreak f'(a)(x-\nobreak a)

Felet blir mindre ju närmare $\displaystyle a$ man är. Det beror också på hur mycket kurvan böjer sig, alltså på andraderivatan.

Vanliga approximationer nära 0: $\displaystyle \sin x\approx x$ , $\displaystyle e^x\approx1+x$ , $\displaystyle \ln(1+x)\approx x$ och $\displaystyle (1+x)^n\approx1+nx$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Kvadratrot

Uppgift: Uppskatta $\displaystyle \sqrt{9{,}2}$ .

Exempel 2: Ränta

Uppgift: Uppskatta $\displaystyle 1{,}02^5$ med $\displaystyle (1+x)^n\approx1+nx$ .

Interaktiva funktioner

Tangent till roten

Funktionen $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ och tangenten i $\displaystyle x=a$ .

Tangeringspunkt: $\displaystyle a=4$

Punkt att uppskatta: $\displaystyle x=4{,}5$

L(4{,}5)\approx\nobreak 2{,}125,\qquad\allowbreak \sqrt{4{,}5}\approx\nobreak 2{,}1213,\qquad\allowbreak \text{fel}\approx\nobreak 0{,}0037

Funktionen och tangenten

Lodrät axel: y

03461001234

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=\sqrt{x}$
Streckad: Tangent

Markerade punkter (ungefär):

Tangeringspunkt: (4; 2)

Vanliga misstag

Att använda approximationen långt från tangeringspunkten.
Att räkna med vinkeln i grader i sinus x ungefär x.

Vanliga frågor

Tips för linjär approximation

Viktigt att tänka på

Välj tangeringspunkt där funktionsvärdet är lätt att räkna.
Kontrollera med räknaren hur stort felet är.

Testa dig själv: Linjär approximation1/3

Vilken är tangentens ekvation till $\displaystyle y=x^2$ i $\displaystyle x=3$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här