Lådprincipen

Om fler föremål än lådor fördelas måste någon låda få flera. Här används lådprincipen i bevis.

På den här sidan

Bakgrund

Lådprincipen, eller duvslagsprincipen, är nästan självklar: om tio duvor flyger in i nio duvslag måste minst ett slag få två duvor. Ändå kan den bevisa överraskande saker, till exempel att två personer i Stockholm har exakt lika många hårstrån.

Teori

Enkel form: om $\displaystyle n+1$ eller fler föremål läggs i $\displaystyle n$ lådor innehåller minst en låda minst två föremål.

Allmän form: om $\displaystyle N$ föremål läggs i $\displaystyle n$ lådor innehåller minst en låda minst

\left\lceil\dfrac{N}{n}\right\rceil

föremål, där $\displaystyle \lceil x\rceil$ betyder att $\displaystyle x$ avrundas uppåt till närmaste heltal. Det svåra är ofta att välja vad som ska vara lådor.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Hårstrån

Uppgift: Visa att minst två personer i Stockholm har exakt lika många hårstrån. En människa har högst 200 000 hårstrån och Stockholm har ungefär en miljon invånare.

Exempel 2: Punkter i en kvadrat

Uppgift: Fem punkter placeras i en kvadrat med sidan 2. Visa att två av dem ligger högst $\displaystyle \sqrt{2}$ från varandra.

Interaktiva funktioner

Föremål i lådor

Välj antal föremål och lådor.

Föremål: $\displaystyle N=13$

Lådor: $\displaystyle n=12$

\left\lceil\dfrac{13}{12}\right\rceil=\nobreak 2

Någon låda innehåller minst 2 föremål, hur föremålen än fördelas.

Vanliga misstag

Att välja lådor så att föremålen inte nödvändigtvis hamnar i dem.
Att avrunda nedåt i stället för uppåt i den allmänna formen.

Vanliga frågor

Tips för lådprincipen

Viktigt att tänka på

Bestäm först vad som är föremål och vad som är lådor.
Ofta är lådorna rester, färger eller delområden.

Testa dig själv: Lådprincipen1/3

Hur många strumpor måste du ta i mörker ur en låda med svarta och vita strumpor för att säkert få ett par?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här