Binomialteoremet

Binomialteoremet ger alla termer i utvecklingen av en potens av en summa. Här beräknas enskilda termer och approximationer.

På den här sidan

Bakgrund

Binomialteoremet, eller binomialsatsen, generaliserar kvadreringsreglerna till alla positiva heltalsexponenter. Det används för att räkna ut enskilda termer i stora utvecklingar, för approximationer och i sannolikhetsläran där binomialfördelningen har sitt namn härifrån.

Teori

(a+\nobreak b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-\nobreak 1}b+\binom{n}{2}a^{n-\nobreak 2}b^2+\dots+\binom{n}{n}b^n

Den allmänna termen är $\displaystyle \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ . Exponenterna summerar alltid till $\displaystyle n$ .

Pascals regel: $\displaystyle \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ . Det är därför varje tal i Pascals triangel är summan av de två ovanför.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: En enskild term

Uppgift: Bestäm koefficienten framför $\displaystyle x^3$ i $\displaystyle (2x-1)^5$ .

Exempel 2: Approximation

Uppgift: Uppskatta $\displaystyle 1{,}02^{10}$ med binomialsatsen.

Interaktiva funktioner

Binomialutveckling och Pascals triangel

Välj exponenten $\displaystyle n$ i $\displaystyle (a+b)^n$ .

Exponent: $\displaystyle n=4$

(a+\nobreak b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Raderna ovan är Pascals triangel. Varje tal är summan av de två talen snett ovanför.

Vanliga misstag

Att glömma att ett minustecken i b ger växlande tecken.
Att upphöja bara variabeln och inte koefficienten: $\displaystyle (2x)^3=8x^3$ , inte $\displaystyle 2x^3$ .
Att låta $\displaystyle k$ börja på 1 i stället för på 0.

Vanliga frågor

Tips för binomialsatsen

Viktigt att tänka på

Skriv den allmänna termen och bestäm k ur den sökta potensen.
Var noga med tecken och koefficienter i b.

Testa dig själv: Binomialteoremet1/3

Vilken koefficient har $\displaystyle x^2$ i $\displaystyle (1+x)^5$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här