Kapitel 3.4.2: Karakteristiska ekvationer med två icke-reella rötter | Matematik 5

Bakgrund

När den karakteristiska ekvationen saknar reella rötter blir rötterna komplexa konjugat. Lösningarna svänger då, och realdelen avgör om svängningen dämpas, växer eller är oförändrad. Det är matematiken bakom gungor, fjädrar och växelströmskretsar.

Teori

Om $\displaystyle r=\alpha\pm\beta i$ ger Eulers formel

y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+\nobreak C_2\sin\beta x)

$\displaystyle \alpha<0$ : dämpad svängning, amplituden avtar.
$\displaystyle \alpha=0$ : odämpad svängning med konstant amplitud.
$\displaystyle \alpha>0$ : växande svängning.

Perioden är $\displaystyle T=\frac{2\pi}{\beta}$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Dämpad svängning

Uppgift: Lös $\displaystyle y''+2y'+5y=0$ med $\displaystyle y(0)=1$ och $\displaystyle y'(0)=0$ .

Exempel 2: Odämpad svängning

Uppgift: Lös $\displaystyle y''+4y=0$ med $\displaystyle y(0)=0$ och $\displaystyle y'(0)=6$ .

Interaktiva funktioner

Rotfallen för andra ordningen

Ekvationen $\displaystyle y''+ay'+by=0$ med $\displaystyle y(0)=1$ och $\displaystyle y'(0)=0$ . Välj $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ .

Dämpning: $\displaystyle a=0{,}5$

Styvhet: $\displaystyle b=4$

r^2+\nobreak 0{,}5r+\nobreak 4=\nobreak 0

r=-\nobreak 0{,}25\pm\nobreak 1{,}98i

\begin{aligned}y=\nobreak {}&e^{-\nobreak 0{,}25x}\big(\cos 1{,}98x\\&+0{,}13\sin 1{,}98x\big)\end{aligned}

Komplexa rötter: dämpad svängning.

Lösningen med startvärdena

Lodrät axel: y

03610−101

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=e^{-0{,}25x}\big(\cos 1{,}98x+0{,}13\sin 1{,}98x\big)$

Vanliga misstag

Att låta exponentialfaktorn få imaginärdelen i stället för realdelen.
Att glömma exponentialfaktorn när realdelen inte är noll.
Att räkna ut perioden med alfa i stället för beta.

Vanliga frågor

Tips för komplexa rötter

Viktigt att tänka på

Skriv rötterna som alfa plus och minus beta i.
Kontrollera villkoren genom att derivera produkten noga.

Testa dig själv: Komplexa rötter1/3

Vilka rötter har $\displaystyle r^2+2r+5=0$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i ekvationer för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här