Homogena differentialekvationer av andra ordningen

Diskriminanten i den karakteristiska ekvationen avgör om lösningarna är överdämpade, kritiskt dämpade eller svänger.

På den här sidan

Bakgrund

Här samlas alla rotfall och tränas på blandade uppgifter. Ett viktigt mål är att direkt ur koefficienterna kunna avgöra hur lösningarna beter sig, något som används för att konstruera stötdämpare och reglersystem.

Teori

Diskriminanten $\displaystyle D=\frac{a^2}{4}-b$ i den karakteristiska ekvationen avgör beteendet:

Diskriminant	Rötter	Beteende (för a större än 0)
$\displaystyle D>0$	Två reella	Överdämpat, ingen svängning
$\displaystyle D=0$	Dubbelrot	Kritiskt dämpat
$\displaystyle D<0$	Komplexa	Dämpad svängning

Om $\displaystyle a>0$ och $\displaystyle b>0$ går alla lösningar mot noll. Systemet är stabilt.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Kritisk dämpning

Uppgift: Lös $\displaystyle y''+6y'+9y=0$ med $\displaystyle y(0)=2$ och $\displaystyle y'(0)=0$ .

Exempel 2: Bestäm en parameter

Uppgift: För vilka $\displaystyle k$ svänger lösningarna till $\displaystyle y''+ky'+16y=0$ ?

Interaktiva funktioner

Rotfallen för andra ordningen

Ekvationen $\displaystyle y''+ay'+by=0$ med $\displaystyle y(0)=1$ och $\displaystyle y'(0)=0$ . Välj $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ .

Dämpning: $\displaystyle a=0{,}5$

Styvhet: $\displaystyle b=4$

r^2+\nobreak 0{,}5r+\nobreak 4=\nobreak 0

r=-\nobreak 0{,}25\pm\nobreak 1{,}98i

\begin{aligned}y=\nobreak {}&e^{-\nobreak 0{,}25x}\big(\cos 1{,}98x\\&+0{,}13\sin 1{,}98x\big)\end{aligned}

Komplexa rötter: dämpad svängning.

Lösningen med startvärdena

Lodrät axel: y

03610−101

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=e^{-0{,}25x}\big(\cos 1{,}98x+0{,}13\sin 1{,}98x\big)$

Vanliga misstag

Att räkna diskriminanten med fel faktor. I pq-formeln är det p halva i kvadrat.
Att anta stabilitet utan att kontrollera tecknen på a och b.

Vanliga frågor

Tips för rotfallen

Viktigt att tänka på

Beräkna diskriminanten först.
Koppla rotfallet till ett fysikaliskt beteende.

Testa dig själv: Rotfall och stabilitet1/3

Vilket rotfall har $\displaystyle y''+6y'+9y=0$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här