Gymnasiet

Ma5

Homogena differentialekvationer av andra ordningen

Homogena andra ordningens ekvationer löses med den karakteristiska ekvationen. Här behandlas reella rötter och dubbelrötter.

På den här sidan

Bakgrund

Homogena andra ordningens differentialekvationer med konstanta koefficienter löses helt med den karakteristiska ekvationen. Det gör dem till ett av de få fall där differentialekvationer alltid kan lösas exakt.

Teori

Sätt in $\displaystyle y=e^{rx}$ i $\displaystyle y''+ay'+by=0$ :

r^2e^{rx}+\nobreak are^{rx}+\nobreak be^{rx}=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ e^{rx}(r^2+\nobreak ar+\nobreak b)=\nobreak 0

Eftersom $\displaystyle e^{rx}\neq0$ måste $\displaystyle r$ lösa den karakteristiska ekvationen.

Rötter till $\displaystyle r^2+ar+b=0$	Allmän lösning
Två reella $\displaystyle r_1\neq r_2$	$\displaystyle y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
Dubbelrot $\displaystyle r$	$\displaystyle y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
Komplexa $\displaystyle \alpha\pm\beta i$	$\displaystyle y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Dubbelrot

Uppgift: Lös $\displaystyle y''-4y'+4y=0$ med $\displaystyle y(0)=1$ och $\displaystyle y'(0)=0$ .

Exempel 2: Hyperboliska lösningar

Uppgift: Lös $\displaystyle y''-y=0$ med $\displaystyle y(0)=0$ och $\displaystyle y'(0)=2$ .

Interaktiva funktioner

Rotfallen för andra ordningen

Ekvationen $\displaystyle y''+ay'+by=0$ med $\displaystyle y(0)=1$ och $\displaystyle y'(0)=0$ . Välj $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ .

Dämpning: $\displaystyle a=0{,}5$

Styvhet: $\displaystyle b=4$

r^2+\nobreak 0{,}5r+\nobreak 4=\nobreak 0

r=-\nobreak 0{,}25\pm\nobreak 1{,}98i

\begin{aligned}y=\nobreak {}&e^{-\nobreak 0{,}25x}\big(\cos 1{,}98x\\&+0{,}13\sin 1{,}98x\big)\end{aligned}

Komplexa rötter: dämpad svängning.

Lösningen med startvärdena

Lodrät axel: y

03610−101

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=e^{-0{,}25x}\big(\cos 1{,}98x+0{,}13\sin 1{,}98x\big)$

Vanliga misstag

Att lösa den karakteristiska ekvationen fel, till exempel tappa tecken.
Att glömma faktorn x vid dubbelrot.

Vanliga frågor

Tips för homogena ekvationer

Viktigt att tänka på

Lös den karakteristiska ekvationen med pq-formeln.
Ställ upp ett ekvationssystem för C1 och C2.

Testa dig själv: Homogena differentialekvationer1/3

Vilken är den allmänna lösningen till $\displaystyle y''-4y'+4y=0$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här