Kapitel 5: Mer om integraler | Matematik 5

Bakgrund

Kapitlet bygger vidare på integralen från Ma3 och Ma4. Integraler kan ha oändliga gränser, de kan beräknas numeriskt när ingen primitiv funktion finns, de kan beskriva sannolikheter som andelar av en area, och partiell integration ger primitiva funktioner till produkter.

Teori

Avsnitt	Idé
Generaliserade integraler	$\displaystyle \int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_a^t f(x)\,dx$
Trapetsmetoden	Arean delas i trapetser med bredden $\displaystyle h$
Geometriska sannolikheter	$\displaystyle P=\frac{\text{gynnsam area}}{\text{hela arean}}$
Partiell integration	$\displaystyle \int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx$

Här betyder $\displaystyle \lim_{t\to\infty}$ gränsvärdet när $\displaystyle t$ växer obegränsat, och $\displaystyle v'$ är derivatan av $\displaystyle v$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Oändlig övre gräns

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \int_0^\infty e^{-x}\,dx$ .

Exempel 2: Partiell integration

Uppgift: Bestäm $\displaystyle \int x\cos x\,dx$ .

Interaktiva funktioner

Trapetsmetoden steg för steg

Integralen $\displaystyle \int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ har ingen elementär primitiv funktion. Välj antalet delintervall $\displaystyle n$ och se hur trapetserna närmar sig arean.

Antal delintervall: $\displaystyle n=4$

h=\dfrac{1-\nobreak 0}{4}=\nobreak 0{,}25,\qquad\allowbreak T_{4}\approx0{,}74298

Det exakta värdet är ungefär $\displaystyle 0{,}74682$ , så felet är ungefär $\displaystyle 0{,}00384$ . Approximationen är för liten: kurvan böjer nedåt på större delen av intervallet, och där ligger trapetsernas raka övre kant under kurvan.

Kurvan och trapetserna

Lodrät axel: y

00,20,40,60,8100,20,40,60,81

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 0,2 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 0,2.

Heldragen: $\displaystyle y=e^{-x^2}$
Streckad: Trapetsernas övre kant

Skuggat område: Trapetsernas area, från $\displaystyle x=0$ till $\displaystyle x=1$ .

Markerade punkter (ungefär):

(0; 1)
(0,25; 0,9394)
(0,5; 0,7788)
(0,75; 0,5698)
(1; 0,3679)

Vanliga misstag

Att räkna med $\displaystyle \infty$ som ett tal. En generaliserad integral beräknas som ett gränsvärde.
Att blanda ihop antalet delintervall $\displaystyle n$ med antalet punkter $\displaystyle n+1$ i trapetsmetoden.
Att välja $\displaystyle u$ och $\displaystyle v'$ åt fel håll vid partiell integration, så att integralen blir svårare.

Vanliga frågor

Tips för mer om integraler

Viktigt att tänka på

Skriv alltid gränsvärdet när en gräns är oändlig.
Kontrollera primitiva funktioner genom att derivera dem.

Testa dig själv: Mer om integraler1/3

Vad är $\displaystyle \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här