Hur hittar man partikulärlösningen?

Partikulärlösningen hittas med en ansats av samma form som högerledet. Här tränas metoden och specialfallet.

På den här sidan

Bakgrund

Partikulärlösningen är ofta den svåraste delen. Metoden med obestämda koefficienter bygger på att man gissar formen och sedan bestämmer konstanterna. Det fungerar när högerledet är ett polynom, en exponentialfunktion, en sinus- eller cosinusfunktion eller en summa av sådana.

Teori

Välj ansats efter högerledets form, med okända konstanter.
Derivera ansatsen och sätt in i ekvationen.
Jämför koefficienter för varje typ av term och lös ut konstanterna.

Specialfallet

Om ansatsen redan löser den homogena ekvationen, till exempel $\displaystyle e^{-ax}$ när $\displaystyle y'+ay=e^{-ax}$ , multipliceras ansatsen med $\displaystyle x$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Sinus i högerledet

Uppgift: Bestäm en partikulärlösning till $\displaystyle y'+y=2\sin x$ .

Exempel 2: Specialfallet

Uppgift: Bestäm en partikulärlösning till $\displaystyle y'+2y=e^{-2x}$ .

Interaktiva funktioner

Lösning till $\displaystyle y'+ay=b$

Ekvationen $\displaystyle y'+ay=b$ med $\displaystyle y(0)$ . Lösningen närmar sig jämvikten $\displaystyle y=\frac{b}{a}$ .

Konstant: $\displaystyle a=2$

Högerled: $\displaystyle b=6$

Startvärde: $\displaystyle y(0)=0$

y=\nobreak y_h+\nobreak y_p=-\nobreak 3e^{-\nobreak 2x}+\nobreak 3

Riktningsfält, lösning och jämviktslinje

01234−4−2024

Vågrät axel: x. Lodrät axel: y. Varje streck visar lutningen som en lösningskurva har i den punkten.

Heldragen blå kurva: $\displaystyle y=-3e^{-2x}+3$
Heldragen röd kurva: $\displaystyle y=3$

Vanliga misstag

Att bara ta med sinus när högerledet är en sinusfunktion.
Att missa specialfallet och få ekvationen $\displaystyle 0=1$ vid koefficientjämförelsen.
Att glömma konstanter i ett polynom, till exempel använda Ax i stället för Ax + B.

Vanliga frågor

Tips för partikulärlösningar

Viktigt att tänka på

Skriv upp tabellen över ansatser.
Kontrollera alltid att ansatsen inte löser den homogena ekvationen.

Testa dig själv: Partikulärlösningar1/3

Vilken ansats passar för $\displaystyle y'+3y=2\sin x$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här