Kapitel 3.3.2: Differentialekvationer av typen y' + ay = f(x) | Matematik 5

Bakgrund

När ett yttre bidrag påverkar förloppet får ekvationen ett högerled: $\displaystyle y'+ay=f(x)$ . Det kan vara en konstant tillförsel, till exempel ett dropp, eller något som varierar med tiden. Lösningen är summan av en homogen lösning och en partikulärlösning.

Teori

Lös den homogena ekvationen: $\displaystyle y_h=Ce^{-ax}$ .
Hitta en partikulärlösning $\displaystyle y_p$ med samma form som högerledet.
Allmän lösning: $\displaystyle y=y_h+y_p$ .
Bestäm $\displaystyle C$ med begynnelsevillkoret.

Högerled	Ansats för partikulärlösning
Konstant $\displaystyle b$	$\displaystyle y_p=A$
Polynom av grad $\displaystyle n$	Polynom av grad $\displaystyle n$
$\displaystyle e^{kx}$ , $\displaystyle k\neq-a$	$\displaystyle y_p=Ae^{kx}$
$\displaystyle \sin kx$ eller $\displaystyle \cos kx$	$\displaystyle y_p=A\sin kx+B\cos kx$

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Polynom i högerledet

Uppgift: Lös $\displaystyle y'+y=x$ med $\displaystyle y(0)=2$ .

Exempel 2: Exponentiellt högerled

Uppgift: Bestäm den allmänna lösningen till $\displaystyle y'+2y=e^{x}$ .

Interaktiva funktioner

Lösning till $\displaystyle y'+ay=b$

Ekvationen $\displaystyle y'+ay=b$ med $\displaystyle y(0)$ . Lösningen närmar sig jämvikten $\displaystyle y=\frac{b}{a}$ .

Konstant: $\displaystyle a=2$

Högerled: $\displaystyle b=6$

Startvärde: $\displaystyle y(0)=0$

y=\nobreak y_h+\nobreak y_p=-\nobreak 3e^{-\nobreak 2x}+\nobreak 3

Riktningsfält, lösning och jämviktslinje

01234−4−2024

Vågrät axel: x. Lodrät axel: y. Varje streck visar lutningen som en lösningskurva har i den punkten.

Heldragen blå kurva: $\displaystyle y=-3e^{-2x}+3$
Heldragen röd kurva: $\displaystyle y=3$

Vanliga misstag

Att bestämma C innan partikulärlösningen lagts till.
Att välja en ansats av fel form, till exempel bara Ax när högerledet är x.
Att glömma kontrollera att ansatsen inte redan löser den homogena ekvationen.

Vanliga frågor

Tips för inhomogena ekvationer

Viktigt att tänka på

Gör ansatsen med lika många okända konstanter som formen kräver.
Jämför koefficienter för varje typ av term.

Testa dig själv: Inhomogena ekvationer av första ordningen1/3

Vilken partikulärlösning passar för $\displaystyle y'+2y=4$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här