Gymnasiet

Ma5

Enkla differentialekvationer

De enklaste differentialekvationerna löses med integration eller exponentialfunktionen. Här bestäms även konstanter med villkor.

På den här sidan

Bakgrund

De enklaste differentialekvationerna löses direkt med integration eller med exponentialfunktionen. De är byggstenar för allt annat i kapitlet, och många verkliga modeller, som sönderfall och ränta, är just sådana.

Teori

Typen $\displaystyle y'=f(x)$

y'=\nobreak f(x)\ \Rightarrow\ y=\nobreak \int f(x)\,dx=\nobreak F(x)+\nobreak C

Typen $\displaystyle y'=ky$

y'=\nobreak ky\ \Rightarrow\ y=\nobreak Ce^{kx}

Funktionen $\displaystyle Ce^{kx}$ är den enda typen av funktion vars derivata är proportionell mot funktionen själv. $\displaystyle k>0$ ger tillväxt och $\displaystyle k<0$ avtagande.

Typen $\displaystyle y''=f(x)$

Integrera två gånger. Den allmänna lösningen får två konstanter.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Direkt integration

Uppgift: Lös $\displaystyle y'=6x^2-2$ med $\displaystyle y(1)=5$ .

Exempel 2: Radioaktivt sönderfall

Uppgift: Mängden av ett ämne minskar med en hastighet som är proportionell mot mängden: $\displaystyle m'=-0{,}05m$ . Från början finns 80 g. Hur mycket finns efter 10 år?

Exempel 3: Andra ordningen

Uppgift: Lös $\displaystyle y''=6x$ med $\displaystyle y(0)=1$ och $\displaystyle y'(0)=2$ .

Interaktiva funktioner

Riktningsfält och lösningskurva

Differentialekvationen $\displaystyle y'=-ky$ . Välj konstanten $\displaystyle k$ och startvärdet $\displaystyle y(0)$ .

Konstant: $\displaystyle k=0{,}5$

Startvärde: $\displaystyle y(0)=4$

y=4e^{-\nobreak 0{,}5x}

Med positivt $\displaystyle k$ avtar lösningarna mot noll: sönderfall eller avsvalning.

Riktningsfältet och lösningen genom startpunkten

0123456−4−2024

Vågrät axel: x. Lodrät axel: y. Varje streck visar lutningen som en lösningskurva har i den punkten.

Heldragen blå kurva: $\displaystyle y=4e^{-0{,}5x}$

Vanliga misstag

Att glömma integrationskonstanten.
Att tro att lösningen till $\displaystyle y'=ky$ är $\displaystyle kx$ . Den är $\displaystyle Ce^{kx}$ .
Att bestämma bara en konstant i en ekvation av andra ordningen.

Vanliga frågor

Tips för enkla differentialekvationer

Viktigt att tänka på

Identifiera typen innan du löser.
Bestäm konstanterna sist med villkoren.

Testa dig själv: Enkla differentialekvationer1/3

Vilken är den allmänna lösningen till $\displaystyle y'=6x^2$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här