Differentialekvationer av första ordningen

Första ordningens differentialekvationer beskriver många förlopp. Här ges en översikt över typer och metoder.

På den här sidan

Bakgrund

Första ordningens differentialekvationer innehåller bara förstaderivatan. De beskriver förlopp där förändringshastigheten beror på tiden och det aktuella värdet, som avsvalning, laddning av en kondensator och läkemedel i blodet. De följande avsnitten behandlar de viktigaste typerna och metoderna.

Teori

Typ	Metod	Avsnitt
$\displaystyle y'+ay=0$	$\displaystyle y=Ce^{-ax}$	3.3.1
$\displaystyle y'+ay=f(x)$	Homogen lösning plus partikulärlösning	3.3.2 och 3.3.3
$\displaystyle y'=g(x)h(y)$	Separation av variabler	4.4
Alla typer	Eulers stegmetod och riktningsfält	3.3.4 och 3.3.5

För $\displaystyle y'+ay=b$ med konstanter $\displaystyle a\neq0$ och $\displaystyle b$ är lösningen

y=Ce^{-\nobreak ax}+\nobreak \dfrac{b}{a}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Konstant högerled

Uppgift: Lös $\displaystyle y'+2y=6$ med $\displaystyle y(0)=0$ .

Interaktiva funktioner

Lösning till $\displaystyle y'+ay=b$

Ekvationen $\displaystyle y'+ay=b$ med $\displaystyle y(0)$ . Lösningen närmar sig jämvikten $\displaystyle y=\frac{b}{a}$ .

Konstant: $\displaystyle a=2$

Högerled: $\displaystyle b=6$

Startvärde: $\displaystyle y(0)=0$

y=\nobreak y_h+\nobreak y_p=-\nobreak 3e^{-\nobreak 2x}+\nobreak 3

Riktningsfält, lösning och jämviktslinje

01234−4−2024

Vågrät axel: x. Lodrät axel: y. Varje streck visar lutningen som en lösningskurva har i den punkten.

Heldragen blå kurva: $\displaystyle y=-3e^{-2x}+3$
Heldragen röd kurva: $\displaystyle y=3$

Vanliga misstag

Att glömma partikulärlösningen.
Att bestämma konstanten C innan partikulärlösningen lagts till.

Vanliga frågor

Tips för första ordningen

Viktigt att tänka på

Hitta jämvikten först, den är ofta partikulärlösningen.
Kontrollera lösningen genom insättning.

Testa dig själv: Första ordningens differentialekvationer1/3

Vad är jämviktslösningen till $\displaystyle y'+2y=6$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här