Kapitel 3.1: Begrepp man bör känna till | Matematik 5

Bakgrund

För att välja rätt lösningsmetod måste man kunna klassificera en differentialekvation. Är den linjär? Homogen? Av vilken ordning? Här samlas begreppen som används i resten av kapitlet.

Teori

Begrepp	Betydelse	Exempel
Ordning	Högsta derivatan	$\displaystyle y''+y=0$ : ordning 2
Linjär	$\displaystyle y$ och derivatorna i första potens	$\displaystyle y'+3y=x^2$
Homogen	Högerledet är 0	$\displaystyle y'+3y=0$
Allmän lösning	Alla lösningar med konstanter	$\displaystyle y=Ce^{-3x}$
Partikulärlösning	En enskild lösning	$\displaystyle y=2e^{-3x}$
Jämviktslösning	Konstant lösning	$\displaystyle y=0$ för $\displaystyle y'=-3y$

För linjära ekvationer är den allmänna lösningen summan av den homogena ekvationens lösning och en partikulärlösning, där $\displaystyle y_h$ löser den homogena ekvationen och $\displaystyle y_p$ är partikulärlösningen:

y=\nobreak y_h+\nobreak y_p

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Klassificera

Uppgift: Klassificera $\displaystyle y''-4y'+4y=e^x$ .

Exempel 2: Jämviktslösning

Uppgift: Bestäm jämviktslösningarna till $\displaystyle y'=y(3-y)$ .

Interaktiva funktioner

Riktningsfält och lösningskurva

Differentialekvationen $\displaystyle y'=-ky$ . Välj konstanten $\displaystyle k$ och startvärdet $\displaystyle y(0)$ .

Konstant: $\displaystyle k=0{,}5$

Startvärde: $\displaystyle y(0)=4$

y=4e^{-\nobreak 0{,}5x}

Med positivt $\displaystyle k$ avtar lösningarna mot noll: sönderfall eller avsvalning.

Riktningsfältet och lösningen genom startpunkten

0123456−4−2024

Vågrät axel: x. Lodrät axel: y. Varje streck visar lutningen som en lösningskurva har i den punkten.

Heldragen blå kurva: $\displaystyle y=4e^{-0{,}5x}$

Vanliga misstag

Att tro att homogen betyder att alla koefficienter är konstanta.
Att missa att en produkt som $\displaystyle y\cdot y'$ gör ekvationen icke-linjär.

Vanliga frågor

Tips för begreppen

Viktigt att tänka på

Klassificera alltid ekvationen innan du väljer metod.
Leta efter konstanta lösningar först.

Testa dig själv: Begrepp för differentialekvationer1/3

Vilken ekvation är linjär?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här