Differentialekvationer av typen y' + ay = 0

Ekvationen y-prim plus ay lika med noll har exponentiella lösningar. Här används den för sönderfall, avsvalning och läkemedel.

På den här sidan

Bakgrund

Ekvationen $\displaystyle y'+ay=0$ beskriver förlopp där förändringshastigheten är proportionell mot storheten själv: sönderfall, avsvalning, läkemedel som bryts ned och kondensatorer som laddas ur. Lösningen är alltid en exponentialfunktion.

Teori

y'+\nobreak ay=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ y'=\nobreak -\nobreak ay\ \Rightarrow\ y=\nobreak Ce^{-\nobreak ax}

Kontroll: $\displaystyle y'=-aCe^{-ax}=-ay$ . Konstanten $\displaystyle C$ är startvärdet $\displaystyle y(0)$ .

Halveringstiden, när $\displaystyle a>0$ , är tiden tills hälften återstår:

e^{-\nobreak aT}=\dfrac{1}{2}\ \Leftrightarrow\ T=\dfrac{\ln2}{a}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Läkemedel

Uppgift: Koncentrationen av ett läkemedel uppfyller $\displaystyle c'=-0{,}2c$ , där $\displaystyle t$ är tiden i timmar. Vid $\displaystyle t=0$ är koncentrationen 12 mg/l. När är den 3 mg/l?

Exempel 2: Bestäm konstanten ur data

Uppgift: En population som minskar enligt $\displaystyle y'=-ay$ halveras på 8 år. Bestäm $\displaystyle a$ .

Interaktiva funktioner

Riktningsfält och lösningskurva

Differentialekvationen $\displaystyle y'=-ky$ . Välj konstanten $\displaystyle k$ och startvärdet $\displaystyle y(0)$ .

Konstant: $\displaystyle k=0{,}5$

Startvärde: $\displaystyle y(0)=4$

y=4e^{-\nobreak 0{,}5x}

Med positivt $\displaystyle k$ avtar lösningarna mot noll: sönderfall eller avsvalning.

Riktningsfältet och lösningen genom startpunkten

0123456−4−2024

Vågrät axel: x. Lodrät axel: y. Varje streck visar lutningen som en lösningskurva har i den punkten.

Heldragen blå kurva: $\displaystyle y=4e^{-0{,}5x}$

Vanliga misstag

Att få fel tecken i exponenten.
Att använda tiologaritmen när ekvationen kräver den naturliga logaritmen.

Vanliga frågor

Tips för homogena ekvationer av första ordningen

Viktigt att tänka på

Skriv lösningen direkt och bestäm C med startvärdet.
Använd halveringstiden för att bestämma a ur data.

Testa dig själv: Exponentiellt avtagande1/3

Vilken är den allmänna lösningen till $\displaystyle y'+5y=0$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här