Trigonometriska värden och identiteter

Lösning

1. Steg 1. Använd trigonometriska ettan.

   $$\cos^2v=1-\nobreak \left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1-\nobreak \dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$$

2. Steg 2. Vinkeln ligger i andra kvadranten, där cosinus är negativ.

   $$\cos v=-\nobreak \dfrac{4}{5}$$

3. Steg 3. Tangens är kvoten.

   $$\tan v=\dfrac{3/5}{-\nobreak 4/5}=-\nobreak \dfrac{3}{4}$$

Svar: $\displaystyle \cos v=-\frac{4}{5}$ och $\displaystyle \tan v=-\frac{3}{4}$.

Lösning

1. Steg 1. Ersätt täljaren med hjälp av trigonometriska ettan.

   $$\dfrac{1-\nobreak \cos^2x}{\sin x\cos x}=\dfrac{\sin^2x}{\sin x\cos x}$$

2. Steg 2. Förkorta med $\displaystyle \sin x$, som inte får vara noll.

   $$\dfrac{\sin x}{\cos x}=\nobreak \tan x$$

Svar: $\displaystyle \tan x$, där $\displaystyle \sin x\neq0$ och $\displaystyle \cos x\neq0$.

Lösning

1. Steg 1. Utveckla vänsterledet med första kvadreringsregeln.

   $$(\sin x+\nobreak \cos x)^2=\sin^2x+\nobreak 2\sin x\cos x+\nobreak \cos^2x$$

2. Steg 2. Gruppera kvadraterna och använd trigonometriska ettan.

   $$(\sin^2x+\nobreak \cos^2x)+\nobreak 2\sin x\cos x=1+\nobreak 2\sin x\cos x$$

Svar: Vänsterledet har skrivits om till högerledet, så likheten gäller för alla x.

Lösning

1. Steg 1. Ersätt $\displaystyle \cos^2x$ med $\displaystyle 1-\sin^2x$.

   $$2(1-\nobreak \sin^2x)+\nobreak \sin x$$

2. Steg 2. Multiplicera in och ordna termerna.

   $$-\nobreak 2\sin^2x+\nobreak \sin x+\nobreak 2$$

Svar: $\displaystyle -2\sin^2x+\sin x+2$. En sådan omskrivning gör att ekvationer kan lösas som andragradsekvationer i $\displaystyle \sin x$.