Gymnasiet
Ma4
Kapitel 1.1.1

Enhetscirkel och trianglar

Exakta värden för sinus, cosinus och tangens kommer från två specialtrianglar. Med enhetscirkelns symmetrier får du värden i alla kvadranter.

På den här sidan

Bakgrund

Enhetscirkeln binder ihop trianglar och trigonometriska funktioner. I Ma4 anges vinklarna i radianer, men geometrin är densamma som tidigare. Den här sidan visar hur de exakta värdena kommer från två specialtrianglar och hur symmetrier i enhetscirkeln ger värden i alla fyra kvadranter.

Teori

Enhetscirkeln i radianer

En vinkel x\displaystyle x mäts moturs från positiva x-axeln. Punkten där vinkelns ben skär enhetscirkeln är

P=(cos⁡x; sin⁡x),tan⁡x=sin⁡xcos⁡xP=\nobreak (\cos x;\ \sin x),\qquad\allowbreak \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}

Kvadranterna gränsar vid π2\displaystyle \frac{\pi}{2}, π\displaystyle \pi och 3π2\displaystyle \frac{3\pi}{2}.

Två specialtrianglar

Halvera en liksidig triangel med sidan 2. Då får du en rätvinklig triangel med vinklarna π6\displaystyle \frac{\pi}{6} och π3\displaystyle \frac{\pi}{3}, kateterna 1 och 3\displaystyle \sqrt{3} och hypotenusan 2. En likbent rätvinklig triangel med kateterna 1 har vinklarna π4\displaystyle \frac{\pi}{4} och hypotenusan 2\displaystyle \sqrt{2}.

Halverad liksidig triangel
CBA3\displaystyle \sqrt{3}1\displaystyle 12\displaystyle 2π3\displaystyle \frac{\pi}{3}π6\displaystyle \frac{\pi}{6}
Vinkelsincostan
0\displaystyle 00\displaystyle 01\displaystyle 10\displaystyle 0
π6\displaystyle \frac{\pi}{6}12\displaystyle \frac{1}{2}32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}13\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}
π4\displaystyle \frac{\pi}{4}12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}1\displaystyle 1
π3\displaystyle \frac{\pi}{3}32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}12\displaystyle \frac{1}{2}3\displaystyle \sqrt{3}
π2\displaystyle \frac{\pi}{2}1\displaystyle 10\displaystyle 0ej definierad

Symmetrier

sin⁡(π−x)=sin⁡x,cos⁡(π−x)=−cos⁡x\sin(\pi-\nobreak x)=\nobreak \sin x,\quad\allowbreak \cos(\pi-\nobreak x)=\nobreak -\nobreak \cos xsin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(-\nobreak x)=\nobreak -\nobreak \sin x,\quad\allowbreak \cos(-\nobreak x)=\nobreak \cos xsin⁡(π+x)=−sin⁡x,cos⁡(π+x)=−cos⁡x\sin(\pi+\nobreak x)=\nobreak -\nobreak \sin x,\quad\allowbreak \cos(\pi+\nobreak x)=\nobreak -\nobreak \cos x

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Andra kvadranten

Uppgift: Bestäm exakt sin⁡5π6\displaystyle \sin\frac{5\pi}{6} och cos⁡5π6\displaystyle \cos\frac{5\pi}{6}.

Exempel 2: Tredje kvadranten och tangens

Uppgift: Bestäm exakt tan⁡4π3\displaystyle \tan\frac{4\pi}{3}.

Exempel 3: Ekvation med exakt värde

Uppgift: Lös cos⁡x=12\displaystyle \cos x=\frac{1}{\sqrt{2}} för 0≤x<2π\displaystyle 0\le x<2\pi.

Exempel 4: Sidor i en triangel

Uppgift: En rätvinklig triangel har hypotenusan 10 cm och en vinkel π6\displaystyle \frac{\pi}{6}. Bestäm kateterna exakt.

Interaktiva funktioner

Enhetscirkeln i radianer

Vinkeln ändras i steg om π12\displaystyle \frac{\pi}{12}. Figuren visar vinkeln i grader, texten i radianer.

Vinkel: x=4⋅π12\displaystyle x=4\cdot\dfrac{\pi}{12}

x=π3=60∘x=\dfrac{\pi}{3}=\nobreak 60^\circ
Enhetscirkeln: radien är 1
Lodrät axel: yVågrät axel: x
-101-11

Vinkeln mäts moturs från positiva x-axeln. Den heldragna radien slutar i P. De streckade linjerna visar punktens koordinater.

θ=60∘\displaystyle \theta=60^\circ

x=cos⁡θ≈0,5\displaystyle x=\cos\theta\approx0{,}5

y=sin⁡θ≈0,866\displaystyle y=\sin\theta\approx0{,}866

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ≈1,732\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\approx1{,}732

sin⁡π3≈0,866,cos⁡π3≈0,5\sin \dfrac{\pi}{3}\approx\nobreak 0{,}866,\quad\allowbreak \cos \dfrac{\pi}{3}\approx\nobreak 0{,}5

Vanliga misstag

  • Att blanda ihop vilken vinkel som ligger mittemot vilken katet i specialtrianglarna.
  • Att glömma tecknet i andra, tredje och fjärde kvadranten.
  • Att räkna med π≈3,14\displaystyle \pi\approx3{,}14 när ett exakt svar efterfrågas.
  • Att ha räknaren i gradläge när vinkeln anges i radianer.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra enhetscirkeln

Viktigt att tänka på

  • Markera π6\displaystyle \frac{\pi}{6}, π4\displaystyle \frac{\pi}{4} och π3\displaystyle \frac{\pi}{3} i varje kvadrant på en egen enhetscirkel.
  • Bestäm först referensvinkeln och sedan tecknet med kvadranten.
  • Kontrollera med trigonometriska ettan att sinus och cosinus passar ihop.

Testa dig själv: Enhetscirkel och trianglar1/3

Vad är cos⁡2π3\displaystyle \cos\dfrac{2\pi}{3}?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.