Kapitel 1.2: Trigonometriska formler | Matematik 4

Bakgrund

Sinus av en summa är inte summan av sinusvärdena. Till exempel är $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}=1$ , men $\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}\approx1{,}41$ . De trigonometriska formlerna visar hur man i stället räknar. De används för exakta värden, för att förenkla uttryck och för att lösa ekvationer.

Teori

Additions- och subtraktionsformler

\sin(u\pm\nobreak v)=\sin u\cos v\pm\nobreak \cos u\sin v

\cos(u\pm\nobreak v)=\cos u\cos v\mp\nobreak \sin u\sin v

Tecknet $\displaystyle \mp$ betyder att cosinusformeln får motsatt tecken: summa i vinkeln ger minus mellan termerna.

Trigonometriska ettan

\sin^2x+\nobreak \cos^2x=\nobreak 1

Dubbla vinkeln

Sätt $\displaystyle u=v=x$ i additionsformlerna:

\sin2x=2\sin x\cos x

\cos2x=\cos^2x-\nobreak \sin^2x=2\cos^2x-\nobreak 1=1-\nobreak 2\sin^2x

De tre formerna för $\displaystyle \cos2x$ fås med trigonometriska ettan. Välj den som passar uppgiften.

Halva vinkeln

\cos^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1+\nobreak \cos x}{2},\quad\allowbreak \sin^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1-\nobreak \cos x}{2}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Exakt värde med subtraktionsformeln

Uppgift: Beräkna exakt $\displaystyle \cos\frac{\pi}{12}$ .

Exempel 2: Dubbla vinkeln

Uppgift: Vinkeln $\displaystyle v$ är spetsig och $\displaystyle \sin v=\frac{3}{5}$ . Bestäm $\displaystyle \sin2v$ och $\displaystyle \cos2v$ .

Exempel 3: Förenkla med additionsformeln

Uppgift: Förenkla $\displaystyle \cos(\pi-x)$ .

Interaktiva funktioner

Additionsformeln steg för steg

Välj två vinklar i radianer. Jämför $\displaystyle \sin(u+v)$ med formelns högerled och med det felaktiga $\displaystyle \sin u+\sin v$ .

Första vinkeln: $\displaystyle u=1{,}2$

Andra vinkeln: $\displaystyle v=0{,}5$

\sin(u+\nobreak v)=\sin1{,}7\approx\nobreak 0{,}9917

\sin u\cos v+\nobreak \cos u\sin v\approx0{,}932\cdot\nobreak 0{,}8776+0{,}3624\cdot\nobreak 0{,}4794\approx\nobreak 0{,}9917

\sin u+\nobreak \sin v\approx\nobreak 1{,}4115

Formeln ger samma värde som vänsterledet, men summan av sinusvärdena gör det inte.

Vanliga misstag

Att skriva $\displaystyle \sin(u+v)=\sin u+\sin v$ .
Att använda samma tecken i cosinusformeln som i vinkeln.
Att tro att $\displaystyle \sin2x=2\sin x$ .
Att välja fel form av $\displaystyle \cos2x$ , så att uttrycket innehåller både sinus och cosinus i onödan.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra trigonometriska formler

Viktigt att tänka på

Skriv upp formeln innan du sätter in värden.
Kontrollera ett resultat med räknaren för en vald vinkel.
Leta efter möjligheter att skriva om till en enda funktion.

Testa dig själv: Trigonometriska formler1/3

Vad är $\displaystyle \cos(u-v)$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här