Kapitel 1: Trigonometri | Matematik 4

Bakgrund

I Matematik 3 räknade du med sinus, cosinus och tangens i grader. I Matematik 4 används radianer, som gör att derivator och integraler av trigonometriska funktioner blir enkla. Kapitlet tar upp exakta värden, trigonometriska formler, grafer med amplitud och period samt ekvationer med oändligt många lösningar. Svängningar, ljud, växelström och tidvatten beskrivs med just sådana funktioner.

Teori

1. Radianer

En vinkel i radianer är längden av den båge som vinkeln spänner upp på enhetscirkeln. Ett helt varv är omkretsen $\displaystyle 2\pi$ , så

360^\circ=\nobreak 2\pi\ \text{rad},\qquad\allowbreak 180^\circ=\nobreak \pi\ \text{rad},\qquad\allowbreak 1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\ \text{rad}

2. Enhetscirkeln och exakta värden

Punkten på enhetscirkeln vid vinkeln $\displaystyle x$ har koordinaterna $\displaystyle (\cos x;\ \sin x)$ . De exakta värdena för $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ och $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ är samma som för $\displaystyle 30^\circ$ , $\displaystyle 45^\circ$ och $\displaystyle 60^\circ$ .

3. Formler

\sin^2x+\nobreak \cos^2x=\nobreak 1

\sin(u\pm\nobreak v)=\sin u\cos v\pm\nobreak \cos u\sin v,\quad\allowbreak \cos(u\pm\nobreak v)=\cos u\cos v\mp\nobreak \sin u\sin v

\sin2x=2\sin x\cos x,\quad\allowbreak \cos2x=\cos^2x-\nobreak \sin^2x

4. Grafer

Funktionen $\displaystyle y=A\sin(kx)+d$ har amplituden $\displaystyle |A|$ , perioden $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ och jämviktslinjen $\displaystyle y=d$ . Amplituden är avståndet från jämviktslinjen till en topp, och perioden är bredden på en hel svängning.

5. Ekvationer

Med radianer skrivs lösningarna med perioden $\displaystyle 2\pi$ för sinus och cosinus och $\displaystyle \pi$ för tangens, där $\displaystyle n$ är ett heltal:

\sin x=\nobreak a\ \Leftrightarrow\ x=v+\nobreak n\cdot\nobreak 2\pi\ \text{ eller }\ x=\pi-\nobreak v+\nobreak n\cdot\nobreak 2\pi

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Exakt värde med additionsformeln

Uppgift: Beräkna exakt $\displaystyle \sin75^\circ$ .

Exempel 2: Ekvation av andra graden i sinus

Uppgift: Lös $\displaystyle 2\sin^2x-\sin x-1=0$ för $\displaystyle 0\le x<2\pi$ .

Exempel 3: Läs av en graf

Uppgift: Bestäm amplitud, period och jämviktslinje för $\displaystyle y=3\sin2x+1$ .

Interaktiva funktioner

Amplitud, period och jämviktslinje

Ändra konstanterna i $\displaystyle y=A\sin(kx)+d$ och se hur grafen förändras.

Amplitud: $\displaystyle A=2$

Faktor framför x: $\displaystyle k=1$

Förskjutning uppåt: $\displaystyle d=0$

y=\nobreak 2\sin(x)

|A|=\nobreak 2,\quad\allowbreak T=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi\approx\nobreak 6{,}28

Grafen till den valda funktionen

Lodrät axel: y

\displaystyle 0

\displaystyle \pi/2

\displaystyle \pi

\displaystyle 3\pi/2

\displaystyle 2\pi

−5−4−3−2−1012345

Vågrät axel: x

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=2\sin(x)$
Streckad: $\displaystyle y=0$

Vanliga misstag

Att ha räknaren i gradläge när uppgiften räknar i radianer, eller tvärtom.
Att tro att $\displaystyle \sin(u+v)=\sin u+\sin v$ . Använd additionsformeln.
Att blanda ihop perioden $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ med $\displaystyle k$ själv.
Att bara ange lösningarna i ett varv när den allmänna lösningen efterfrågas.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra trigonometri

Viktigt att tänka på

Kontrollera alltid räknarens vinkelläge.
Skissa enhetscirkeln vid ekvationer och grafen vid frågor om period och amplitud.
Lär dig trigonometriska ettan och formlerna för dubbla vinkeln. De används hela tiden.

Testa dig själv: Trigonometri1/3

Hur många radianer är $\displaystyle 60^\circ$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här