Kapitel 1.3: Trigonometriska funktioner | Matematik 4

Bakgrund

När vinkeln i enhetscirkeln får växa fritt, även över ett varv och bakåt, blir sinus, cosinus och tangens funktioner av ett reellt tal $\displaystyle x$ . Deras grafer är vågor som upprepar sig. Här jämförs de tre funktionerna: värdemängd, period, nollställen, symmetri och asymptoter.

Teori

Egenskap	$\displaystyle \sin x$	$\displaystyle \cos x$	$\displaystyle \tan x$
Definitionsmängd	alla reella tal	alla reella tal	$\displaystyle x\neq\frac{\pi}{2}+n\pi$
Värdemängd	$\displaystyle [-1;\ 1]$	$\displaystyle [-1;\ 1]$	alla reella tal
Period	$\displaystyle 2\pi$	$\displaystyle 2\pi$	$\displaystyle \pi$
Nollställen	$\displaystyle n\pi$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi$	$\displaystyle n\pi$
Symmetri	udda	jämn	udda

En funktion är udda om $\displaystyle f(-x)=-f(x)$ och jämn om $\displaystyle f(-x)=f(x)$ . Det följer av enhetscirkelns symmetri: $\displaystyle \sin(-x)=-\sin x$ och $\displaystyle \cos(-x)=\cos x$ .

Cosinuskurvan är sinuskurvan flyttad åt vänster: $\displaystyle \cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ . Tangens växer från $\displaystyle -\infty$ till $\displaystyle \infty$ mellan två asymptoter.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Nollställen

Uppgift: Bestäm nollställena till $\displaystyle f(x)=\sin2x$ i intervallet $\displaystyle 0\le x<2\pi$ .

Exempel 2: Största och minsta värde

Uppgift: Bestäm största och minsta värdet av $\displaystyle g(x)=3\cos x-1$ och var de antas i $\displaystyle 0\le x<2\pi$ .

Exempel 3: Udda eller jämn

Uppgift: Är $\displaystyle h(x)=x\sin x$ udda, jämn eller ingetdera?

Interaktiva funktioner

Jämför graferna

Välj funktion. Egenskaperna och grafen visas för intervallet från $\displaystyle -\pi$ till $\displaystyle 2\pi$ .

Värdemängd: $\displaystyle -1\le y\le1$
Period: $\displaystyle 2\pi$
Nollställen: $\displaystyle x=n\pi$ , där $\displaystyle n$ är ett heltal
Udda: grafen är symmetrisk kring origo.

Grafen till sinus

Lodrät axel: y

\displaystyle -\pi

\displaystyle 0

\displaystyle \pi

\displaystyle 2\pi

−101

Vågrät axel: x

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=\sin x$

Vanliga misstag

Att tro att tangens har perioden $\displaystyle 2\pi$ .
Att rita tangenskurvan som sammanhängande genom asymptoterna.
Att blanda ihop vilken av sinus och cosinus som börjar i origo.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra trigonometriska funktioner

Viktigt att tänka på

Dela perioden i fyra lika delar när du skissar.
Använd symmetrin för att få negativa x-värden gratis.
Kontrollera definitionsmängden innan du räknar med tangens.

Testa dig själv: Trigonometriska funktioner1/3

Vilken värdemängd har $\displaystyle y=\cos x$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här