Dubbel- och halvvinkelformler

Lösning

1. Steg 1. Skriv om vänsterledet och samla allt på ena sidan.

   $$2\sin x\cos x-\nobreak \sin x=\nobreak 0$$

2. Steg 2. Bryt ut $\displaystyle \sin x$. Dividera inte, då försvinner lösningar.

   $$\sin x\,(2\cos x-\nobreak 1)=\nobreak 0$$

3. Steg 3. Nollproduktmetoden ger två ekvationer.

   $$\sin x=\nobreak 0:\ x=\nobreak 0,\ \allowbreak \pi,\qquad\allowbreak \cos x=\dfrac{1}{2}:\ x=\dfrac{\pi}{3},\ \allowbreak \dfrac{5\pi}{3}$$

Svar: $\displaystyle x=0$, $\displaystyle \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle \pi$ eller $\displaystyle \frac{5\pi}{3}$.

Lösning

1. Steg 1. Vinkeln är halva $\displaystyle \frac{\pi}{4}$.

   $$\cos^2\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1+\nobreak \cos\frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{1+\nobreak \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\dfrac{2+\nobreak \sqrt{2}}{4}$$

2. Steg 2. Vinkeln ligger i första kvadranten, så cosinus är positiv.

   $$\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\nobreak \sqrt{2}}}{2}$$

Svar: $\displaystyle \cos\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\approx0{,}924$.

Lösning

1. Steg 1. Välj formen med bara cosinus.

   $$2\cos^2x-\nobreak 1+\nobreak \cos x=\nobreak 0$$

2. Steg 2. Sätt $\displaystyle t=\cos x$ och faktorisera.

   $$2t^2+\nobreak t-\nobreak 1=(2t-\nobreak 1)(t+\nobreak 1)=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ t=\dfrac{1}{2}\ \text{ eller }\ t=\nobreak -\nobreak 1$$

3. Steg 3. Lös cosinusekvationerna.

   $$\cos x=\dfrac{1}{2}:\ x=\dfrac{\pi}{3},\ \allowbreak \dfrac{5\pi}{3},\qquad\allowbreak \cos x=\nobreak -\nobreak 1:\ x=\nobreak \pi$$

Svar: $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$, $\displaystyle \pi$ eller $\displaystyle \frac{5\pi}{3}$.