Kapitel 1.3.1: Sinus- och cosinusfunktioner | Matematik 4

Bakgrund

Sinus- och cosinusfunktioner beskriver förlopp som upprepar sig: dygnstemperatur, tidvatten, ljud och växelström. I det här avsnittet bestämmer du en funktion ur en beskrivning eller graf och skriver om en summa av en sinus- och en cosinusfunktion som en enda sinusfunktion.

Teori

Den allmänna formen

y=A\sin\big(k(x-\nobreak c)\big)+\nobreak d\qquad\text{eller}\qquad y=A\cos\big(k(x-\nobreak c)\big)+\nobreak d

Här är $\displaystyle |A|$ amplituden, $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ perioden, $\displaystyle c$ förskjutningen åt höger och $\displaystyle d$ jämviktsnivån. Cosinusformen är praktisk när man vet var maximum ligger: $\displaystyle \cos0=1$ , så maximum hamnar vid $\displaystyle x=c$ .

Summa av sinus och cosinus

En summa av en sinus- och en cosinusfunktion med samma $\displaystyle k$ är också en sinusfunktion:

a\sin x+\nobreak b\cos x=c\sin(x+\nobreak v),\qquad\allowbreak c=\sqrt{a^2+\nobreak b^2},\quad\allowbreak \cos v=\dfrac{a}{c},\quad\allowbreak \sin v=\dfrac{b}{c}

Det följer av additionsformeln: $\displaystyle c\sin(x+v)=c\cos v\sin x+c\sin v\cos x$ . Jämför koefficienterna: $\displaystyle a=c\cos v$ och $\displaystyle b=c\sin v$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Modell för dygnstemperatur

Uppgift: Temperaturen är som högst 22 grader klockan 15 och som lägst 10 grader klockan 3. Ställ upp en modell $\displaystyle T(t)$ , där $\displaystyle t$ är klockslaget i timmar.

Exempel 2: Summa som en sinusfunktion

Uppgift: Skriv $\displaystyle \sin x+\sqrt{3}\cos x$ på formen $\displaystyle c\sin(x+v)$ .

Exempel 3: Fasförskjutning

Uppgift: Skriv $\displaystyle y=4\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)$ på formen $\displaystyle A\sin\big(k(x-c)\big)$ och ange förskjutningen.

Interaktiva funktioner

Summa som en sinusfunktion

Välj $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ i $\displaystyle a\sin x+b\cos x$ . Den heldragna och den streckade kurvan sammanfaller.

Koefficient för sinus: $\displaystyle a=1$

Koefficient för cosinus: $\displaystyle b=1{,}7$

c=\sqrt{1^2+\nobreak 1{,}7^2}\approx\nobreak 1{,}97

\cos v=\dfrac{1}{1{,}97},\quad\allowbreak \sin v=\dfrac{1{,}7}{1{,}97}\ \Rightarrow\ v\approx\nobreak 1{,}04

Summan och den motsvarande sinusfunktionen

Lodrät axel: y

\displaystyle 0

\displaystyle \pi/2

\displaystyle \pi

\displaystyle 3\pi/2

\displaystyle 2\pi

−4−3−2−101234

Vågrät axel: x

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=a\sin x+b\cos x$
Streckad: $\displaystyle y=c\sin(x+v)$

Vanliga misstag

Att läsa förskjutningen direkt ur $\displaystyle \sin(kx-c)$ . Bryt först ut $\displaystyle k$ .
Att bestämma $\displaystyle v$ enbart med $\displaystyle \tan v=\frac{b}{a}$ och hamna i fel kvadrant.
Att addera amplituderna: $\displaystyle 3\sin x+4\cos x$ har amplituden 5, inte 7.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra sinus- och cosinusfunktioner

Viktigt att tänka på

Bestäm konstanterna i ordningen amplitud, jämviktsnivå, period och förskjutning.
Kontrollera modellen genom att sätta in ett känt värde.
Rita en skiss av enhetscirkeln när vinkeln $\displaystyle v$ ska bestämmas.

Testa dig själv: Sinus- och cosinusfunktioner1/3

Vilken amplitud har $\displaystyle y=3\sin x+4\cos x$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här