Kapitel 1.2.1: Addition- och subtraktionsformler | Matematik 4

Bakgrund

Additionsformlerna uttrycker sinus och cosinus för en summa eller skillnad av två vinklar med värdena för vinklarna var för sig. De är grunden för nästan alla andra trigonometriska formler, och de gör det möjligt att beräkna exakta värden för vinklar som $\displaystyle \frac{\pi}{12}$ och $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$ .

Teori

\sin(u+\nobreak v)=\sin u\cos v+\nobreak \cos u\sin v

\sin(u-\nobreak v)=\sin u\cos v-\nobreak \cos u\sin v

\cos(u+\nobreak v)=\cos u\cos v-\nobreak \sin u\sin v

\cos(u-\nobreak v)=\cos u\cos v+\nobreak \sin u\sin v

Varför gäller formlerna?

Lägg punkterna $\displaystyle P=(\cos u;\ \sin u)$ och $\displaystyle Q=(\cos v;\ \sin v)$ på enhetscirkeln. Vinkeln mellan radierna är $\displaystyle u-v$ . Kvadraten på avståndet $\displaystyle PQ$ kan räknas på två sätt.

Med avståndsformeln och trigonometriska ettan: $\displaystyle PQ^2=2-2(\cos u\cos v+\sin u\sin v)$ .
Med cosinussatsen i triangeln $\displaystyle OPQ$ , där två sidor är 1: $\displaystyle PQ^2=2-2\cos(u-v)$ .

Jämförelsen ger formeln för $\displaystyle \cos(u-v)$ . De andra tre följer genom att byta $\displaystyle v$ mot $\displaystyle -v$ och använda $\displaystyle \sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Exakt värde

Uppgift: Beräkna exakt $\displaystyle \cos75^\circ$ .

Exempel 2: Två givna värden

Uppgift: Vinklarna $\displaystyle u$ och $\displaystyle v$ är spetsiga, $\displaystyle \sin u=\frac{3}{5}$ och $\displaystyle \cos v=\frac{5}{13}$ . Bestäm $\displaystyle \sin(u+v)$ .

Exempel 3: Förenkla

Uppgift: Förenkla $\displaystyle \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ .

Exempel 4: Ekvation

Uppgift: Lös $\displaystyle \sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ för $\displaystyle 0\le x<2\pi$ .

Interaktiva funktioner

Bygg ett exakt värde

Välj två vinklar och räknesätt. Formeln skrivs ut med exakta värden.

Första vinkeln $\displaystyle u$ :

Andra vinkeln $\displaystyle v$ :

\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+\nobreak \dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}+\nobreak \cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}

=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\nobreak \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\nobreak \dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx\nobreak 0{,}9659

Vanliga misstag

Att skriva $\displaystyle \cos(u+v)=\cos u+\cos v$ .
Att använda plus i formeln för $\displaystyle \cos(u+v)$ . Där är det minus.
Att blanda ihop ordningen: i sinusformeln står $\displaystyle \sin u\cos v$ först, och vid subtraktion spelar ordningen roll.
Att glömma kvadranten när ett saknat värde räknas ut med trigonometriska ettan.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra additionsformlerna

Viktigt att tänka på

Leta efter vinklar som kan skrivas som summa eller skillnad av $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ och $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ .
Känn igen högerledet i formeln baklänges, som i exempel 4.
Kontrollera svaret med räknaren.

Testa dig själv: Additionsformler1/3

Vad är $\displaystyle \sin(u-v)$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här