Kapitel 1.2.2: Trigonometriska ettan | Matematik 4

Bakgrund

Trigonometriska ettan är Pythagoras sats på enhetscirkeln. Den kopplar ihop sinus och cosinus för samma vinkel. Därför kan man alltid räkna ut den ena när den andra är känd, och man kan skriva om ekvationer så att bara en trigonometrisk funktion återstår.

Teori

Trigonometriska ettan

\sin^2x+\nobreak \cos^2x=\nobreak 1

Varför gäller den?

Punkten $\displaystyle (\cos x;\ \sin x)$ , origo och punkten $\displaystyle (\cos x;\ 0)$ på x-axeln bildar en rätvinklig triangel med hypotenusan 1. Kateterna har längderna $\displaystyle |\cos x|$ och $\displaystyle |\sin x|$ . Pythagoras sats ger likheten, och kvadraterna gör att tecknen inte spelar roll.

Enhetscirkeln: radien är 1

Lodrät axel: yVågrät axel: x

-101-11

Vinkeln mäts moturs från positiva x-axeln. Den heldragna radien slutar i P. De streckade linjerna visar punktens koordinater.

$\displaystyle \theta=50^\circ$

$\displaystyle x=\cos\theta\approx0{,}643$

$\displaystyle y=\sin\theta\approx0{,}766$

Omskrivningar

\sin^2x=1-\nobreak \cos^2x,\qquad\allowbreak \cos^2x=1-\nobreak \sin^2x

\cos x=\pm\nobreak \sqrt{1-\nobreak \sin^2x}

Tecknet bestäms av kvadranten. Omskrivningarna används för att få en ekvation med bara sinus eller bara cosinus, som sedan kan lösas som en andragradsekvation.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Cosinus ur sinus

Uppgift: Vinkeln $\displaystyle x$ ligger i tredje kvadranten och $\displaystyle \sin x=-\frac{5}{13}$ . Bestäm $\displaystyle \cos x$ .

Exempel 2: Ekvation med sinus och cosinus

Uppgift: Lös $\displaystyle 2\cos^2x+3\sin x-3=0$ för $\displaystyle 0\le x<2\pi$ .

Exempel 3: Förenkla

Uppgift: Förenkla $\displaystyle \sin^4x-\cos^4x$ .

Interaktiva funktioner

Cosinus ur sinus

Välj sinusvärdets storlek och kvadrant. Kvadranten bestämmer tecknen.

Sinusvärdets storlek: $\displaystyle |\sin x|=0{,}6$

\sin x=\nobreak 0{,}6,\quad\allowbreak \cos x=\sqrt{1-\nobreak 0{,}36}\approx\nobreak 0{,}8

\sin^2x+\nobreak \cos^2x\approx0{,}36+\nobreak 0{,}64=\nobreak 1

Enhetscirkeln: radien är 1

Lodrät axel: yVågrät axel: x

-101-11

Vinkeln mäts moturs från positiva x-axeln. Den heldragna radien slutar i P. De streckade linjerna visar punktens koordinater.

$\displaystyle \theta=36{,}9^\circ$

$\displaystyle x=\cos\theta\approx0{,}8$

$\displaystyle y=\sin\theta\approx0{,}6$

Vanliga misstag

Att skriva $\displaystyle \sin x+\cos x=1$ . Det är kvadraterna som summeras.
Att glömma minustecknet när cosinus eller sinus ska vara negativ.
Att dividera med $\displaystyle \sin x$ i en ekvation och därmed tappa lösningarna där $\displaystyle \sin x=0$ .

Vanliga frågor

Tips för att bemästra trigonometriska ettan

Viktigt att tänka på

Rita enhetscirkeln för att bestämma tecknet.
Byt till den funktion som förekommer flest gånger i en ekvation.
Faktorisera i stället för att dividera, så att inga lösningar försvinner.

Testa dig själv: Trigonometriska ettan1/3

Vad är $\displaystyle \sin^2\frac{\pi}{7}+\cos^2\frac{\pi}{7}$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här