Kapitel 3.6: Tillämpningar av integraler | Matematik 4

Bakgrund

Integraler summerar små bidrag. Därför används de så fort en storhet ändras kontinuerligt och man vill veta en total eller ett medelvärde: total förbrukning ur effekt, sträcka ur hastighet, vattenmängd ur flöde, medeltemperatur och sannolikheter.

Teori

Total förändring

\int_a^bF'(t)\,dt=F(b)-\nobreak F(a)

Integralen av en förändringshastighet ger den totala förändringen. Till exempel ger integralen av ett flöde i liter per minut en volym i liter.

Medelvärde

\bar f=\dfrac{1}{b-\nobreak a}\int_a^bf(x)\,dx

Medelvärdet är höjden på den rektangel som har samma bas och samma area som området under kurvan.

Andra tillämpningar

I avsnitten som följer används integraler för sannolikheter och för volymer av rotationskroppar.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Vattenflöde

Uppgift: Vatten strömmar in i en tank med hastigheten $\displaystyle r(t)=20e^{-0{,}1t}$ liter per minut. Hur mycket vatten strömmar in under de första 10 minuterna?

Exempel 2: Medelvärde

Uppgift: Bestäm medelvärdet av $\displaystyle f(x)=\sin x$ på intervallet $\displaystyle 0\le x\le\pi$ .

Interaktiva funktioner

Medeltemperatur

Temperaturen följer $\displaystyle T(t)=12+6\sin\left(\frac{\pi}{12}(t-9)\right)$ grader, där $\displaystyle t$ är timmar efter midnatt. Välj hur länge medelvärdet räknas.

Tid efter midnatt: $\displaystyle t_1=12\text{ h}$

\bar T=\dfrac{1}{12}\int_0^{12}T(t)\,dt\approx\nobreak 9{,}3\ ^\circ\text{C}

Medelvärdet beror på vilken del av dygnet som ingår.

Temperaturen och medelvärdet

Lodrät axel: T (grader Celsius)

048121620244567891011121314151617181920

Vågrät axel: t (timmar)

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle T=12+6\sin\left(\frac{\pi}{12}(t-9)\right)$
Streckad: $\displaystyle T=9{,}3$

Skuggat område från $\displaystyle x=0$ till $\displaystyle x=12$ .

Vanliga misstag

Att glömma dela med intervallets längd vid medelvärde.
Att blanda ihop förändringshastighet med själva storheten.
Att svara utan enhet. Enheten blir produkten av y-axelns och x-axelns enheter.

Vanliga frågor

Tips för tillämpningar

Viktigt att tänka på

Kontrollera enheten före och efter integrationen.
Rita grafen för att se om svaret är rimligt.

Testa dig själv: Tillämpningar av integraler1/3

Vad är medelvärdet av $\displaystyle f(x)=x^2$ på intervallet $\displaystyle 0\le x\le3$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här