Gymnasiet

Ma4

Kapitel 3.6.1

Integraler och sannolikhetsfördelningar

För en kontinuerlig slumpvariabel är sannolikheten arean under täthetsfunktionen. Här kopplas integraler ihop med sannolikhet.

På den här sidan

Bakgrund

En kontinuerlig slumpvariabel kan anta alla värden i ett intervall, till exempel en väntetid eller en längd. Sannolikheten för ett intervall ges då av arean under en täthetsfunktion, alltså av en integral.

Teori

En funktion $\displaystyle f$ är en täthetsfunktion om

f(x)\ge\nobreak 0\quad\text{och}\quad\int_{-\nobreak \infty}^{\infty}f(x)\,dx=\nobreak 1

Sannolikheten att slumpvariabeln $\displaystyle X$ hamnar mellan $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ är arean under täthetsfunktionen:

P(a\le\nobreak X\le\nobreak b)=\int_a^bf(x)\,dx

Fördelningsfunktionen $\displaystyle F(x)=P(X\le x)$ är en primitiv funktion till täthetsfunktionen. Den växer från 0 till 1.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Kontrollera en täthetsfunktion

Uppgift: Visa att $\displaystyle f(x)=\frac{3x^2}{8}$ för $\displaystyle 0\le x\le2$ , och 0 annars, är en täthetsfunktion.

Exempel 2: Sannolikhet för ett intervall

Uppgift: Med täthetsfunktionen ovan, beräkna $\displaystyle P(1\le X\le2)$ .

Interaktiva funktioner

Sannolikhet som area

Täthetsfunktionen $\displaystyle f(x)=\frac{3x^2}{8}$ på $\displaystyle [0;\ 2]$ . Välj intervallet.

Nedre gräns: $\displaystyle a=0{,}5$

Övre gräns: $\displaystyle b=1{,}5$

P(0{,}5\le X\le\nobreak 1{,}5)=\dfrac{1{,}5^3-\nobreak 0{,}5^3}{8}\approx\nobreak 0{,}406

Täthetsfunktionen och det valda intervallet

Lodrät axel: y

01200,511,5

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 0,5.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^2}{8}$

Skuggat område: sannolikheten, från $\displaystyle x=0{,}5$ till $\displaystyle x=1{,}5$ .

Vanliga misstag

Att tolka funktionsvärdet $\displaystyle f(x)$ som en sannolikhet. Det är arean som är sannolikheten.
Att glömma kontrollera att den totala arean är 1.
Att räkna med att $\displaystyle P(X=a)$ är större än noll för en kontinuerlig variabel.

Vanliga frågor

Tips för sannolikhetsfördelningar

Viktigt att tänka på

Rita täthetsfunktionen och skugga det efterfrågade området.
Kontrollera att svaret ligger mellan 0 och 1.

Testa dig själv: Integraler och sannolikhet1/3

Vilket villkor måste en täthetsfunktion uppfylla?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här