Gymnasiet
Ma4
Kapitel 3

Integraler

Kapitlet utvidgar integralerna till trigonometriska funktioner och logaritmer och tillämpar dem på areor, volymer och sannolikheter.

På den här sidan

Bakgrund

Integraler beräknar areor, volymer, sträckor och sannolikheter genom att summera mycket små bitar. I Matematik 3 integrerade du polynom och exponentialfunktioner. I Matematik 4 kommer trigonometriska funktioner och 1x\displaystyle \frac{1}{x}, areor mellan kurvor, rotationsvolymer och integraler i sannolikhetslära.

Teori

Primitiva funktioner

En funktion F\displaystyle F är primitiv till f\displaystyle f om F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x). Alla primitiva funktioner skiljer sig åt med en konstant C\displaystyle C.

FunktionPrimitiv funktion
xn, n≠−1\displaystyle x^n,\ n\neq-1xn+1n+1+C\displaystyle \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C
1x\displaystyle \dfrac{1}{x}ln⁡∣x∣+C\displaystyle \ln|x|+C
ekx\displaystyle e^{kx}ekxk+C\displaystyle \dfrac{e^{kx}}{k}+C
sin⁡kx\displaystyle \sin kx−cos⁡kxk+C\displaystyle -\dfrac{\cos kx}{k}+C
cos⁡kx\displaystyle \cos kxsin⁡kxk+C\displaystyle \dfrac{\sin kx}{k}+C

Integralkalkylens fundamentalsats

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-\nobreak F(a)

Om f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge0 är integralen arean mellan kurvan och x-axeln från a\displaystyle a till b\displaystyle b. Där kurvan ligger under x-axeln räknas arean negativt.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Obestämd integral

Uppgift: Bestäm ∫(3x2+2x)dx\displaystyle \displaystyle\int\left(3x^2+\dfrac{2}{x}\right)dx för x>0\displaystyle x>0.

Exempel 2: Bestämd integral med sinus

Uppgift: Beräkna ∫0πsin⁡x dx\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx.

Exempel 3: Area mellan två kurvor

Uppgift: Beräkna arean mellan y=x\displaystyle y=x och y=x2\displaystyle y=x^2.

Interaktiva funktioner

Arean under sinuskurvan

Välj övre gränsen b\displaystyle b. Integralen är 1−cos⁡b\displaystyle 1-\cos b.

Övre gräns: b=2\displaystyle b=2

∫02sin⁡x dx=1−cos⁡2≈1,416\int_0^{2}\sin x\,dx=1-\nobreak \cos2\approx\nobreak 1{,}416
Arean under sinuskurvan
Lodrät axel: y
0\displaystyle 0π/4\displaystyle \pi/4π/2\displaystyle \pi/23π/4\displaystyle 3\pi/4π\displaystyle \pi00,250,50,751

Vågrät axel: x

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 0,25.

  • Heldragen: y=sin⁡x\displaystyle y=\sin x

Skuggat område från x=0\displaystyle x=0 till x=2\displaystyle x=2.

Vanliga misstag

  • Att glömma konstanten C\displaystyle C i obestämda integraler.
  • Att integrera 1x\displaystyle \frac{1}{x} med potensregeln.
  • Att få fel tecken: en primitiv funktion till sin⁡x\displaystyle \sin x är −cos⁡x\displaystyle -\cos x.
  • Att tolka integralen som area när kurvan ligger under x-axeln.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra integraler

Viktigt att tänka på

  • Kontrollera alltid genom att derivera svaret.
  • Rita en figur när en area ska beräknas.

Testa dig själv: Integraler1/3

Vad är en primitiv funktion till f(x)=cos⁡x\displaystyle f(x)=\cos x?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.