Gymnasiet

Ma4

Kapitel 3.5

Area under x-axeln

Integraler räknar area under x-axeln negativt. Här lär du dig beräkna den geometriska arean när kurvan ligger under eller korsar x-axeln.

På den här sidan

Bakgrund

En integral räknar areor under x-axeln som negativa. Det är rätt när integralen beskriver till exempel en förflyttning, där rörelse bakåt ska dras av. Men när en geometrisk area efterfrågas måste delarna under x-axeln räknas positivt.

Teori

Om $\displaystyle f(x)\le0$ i intervallet är integralen negativ, och arean är

A=-\nobreak \int_a^bf(x)\,dx=\left|\int_a^bf(x)\,dx\right|

Om kurvan korsar x-axeln delas intervallet vid nollställena. Varje del beräknas för sig och absolutbeloppen adderas:

A=\int_a^c f(x)\,dx+\left|\int_c^b f(x)\,dx\right|,\qquad\allowbreak f(x)\ge\nobreak 0\text{ på }[a;\ c],\ \allowbreak f(x)\le\nobreak 0\text{ på }[c;\ b]

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Parabel under x-axeln

Uppgift: Beräkna arean mellan $\displaystyle y=x^2-4$ och x-axeln.

Exempel 2: Kurva som korsar x-axeln

Uppgift: Beräkna arean mellan $\displaystyle y=\sin x$ och x-axeln för $\displaystyle 0\le x\le\frac{3\pi}{2}$ .

Interaktiva funktioner

Integral jämfört med area

Välj övre gränsen för $\displaystyle y=\sin x$ från 0. Efter $\displaystyle x=\pi$ skiljer sig integral och area.

Övre gräns: $\displaystyle b=4{,}5$

\int_0^{4{,}5}\sin x\,dx\approx\nobreak 1{,}211,\qquad\allowbreak A\approx\nobreak 2{,}789

Området mellan sinuskurvan och x-axeln

Lodrät axel: y

\displaystyle 0

\displaystyle \pi/2

\displaystyle \pi

\displaystyle 3\pi/2

\displaystyle 2\pi

−101

Vågrät axel: x

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=\sin x$

Skuggat område från $\displaystyle x=0$ till $\displaystyle x=4{,}5$ .

Vanliga misstag

Att svara med en negativ area.
Att integrera över hela intervallet när kurvan korsar x-axeln och få för liten area.
Att ta absolutbeloppet av integranden utan att dela upp vid nollställena.

Vanliga frågor

Tips för area under x-axeln

Viktigt att tänka på

Skissa kurvan och markera nollställena.
Beräkna varje del för sig och addera absolutbeloppen.

Testa dig själv: Area under x-axeln1/3

Vad är $\displaystyle \displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här